Question

我正在关注this thread并复制了我项目中的代码。玩弄它看起来似乎不是很精确。

回想一下公式：y = ax ^ 2 + bx + c

由于我的第一个给定点是x1 = 0，我们已经有c = y1。我们只需要找到a和b。使用：

y2 = ax2 ^ 2 + bx2 + c y3 = ax3 ^ 2 + bx3 + c

求解b的方程式：

b = y / x - ax - cx

现在将两个方程设置为彼此相等，以便b掉出

y2 / x2 - ax2 - cx2 = y3 / x3 - ax3 - cx3

现在求解一个给我：

a =（x3 *（y2 - c）+ x2 *（y3 - c））/（x2 * x3 *（x2 - x3））

（这是正确的吗？！）

然后再次使用b = y2 / x2 - ax2 - cx2来找到b。但到目前为止，我还没有找到正确的a和b系数。我做错了什么？

修改

好的我想通了，但不得不使用CAS，因为我不知道如何手动反转符号矩阵。（高斯算法似乎不起作用）

以矩阵形式写下来：

| 0     0   1 |   |a|
| x2^2  x2  1 | * |b| = Y
| x3^2  x3  1 |   |c|

让我们调用矩阵M并从左边乘以M ^（ - 1）

|a|
|b| = M^(-1)*Y
|c|

然后我离开了枫树：

a = (-y1 * x2 + y1 * x3 - y2 * x3 + y3 * x2) / x2 / x3 / (-x2 + x3)

猜猜我在上面某处犯了一个愚蠢的错误。

这给我的结果与上面引用的主题中的公式相同。

Answer 1

你的问题是你有三个未知数（系数a，b和c），我只能看到一个方程：当x = 0时y = y1;正如你所说，这给出了c = y1。

如果没有更多信息，您所能做的就是告诉b如何与a相关。而已。没有一种解决方案，有很多解决方案。

如果你告诉我你有两个其他点（x2，y2）和（x3，y3），那么你应该将它们全部替换成等式并求解。从：

开始

现在替换三个点（x1，y1），（x2，y2）和（x3，y3）：

这是您需要反转的矩阵方程。您可以使用Cramer的规则或LU分解。另一种可能性是Wolfram Alpha：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse{{x1*x1,+x1,+1},+{x2*x2,+x2,+1},+{x3*x3,+x3,+1}}

取链接给你的反转并乘以右边的矢量来求解你的三个系数。

如果你注意到

那么代码就很容易了

det =（x2 x1 ^ 2-x3 x1 ^ 2-x2 ^ 2 x1 + x3 ^ 2 x1-x2 x3 ^ 2 + x2 ^ 2 x3）

将矩阵中的所有条目除以此值。分子非常简单：

将此除以行列式，你得到了反转。

如果您的分数超过三分，则需要进行最小二乘拟合。用你所有的点（x1，y1）替换相同的技巧（xn，yn）。你将拥有比未知数更多的方程式。通过nx3矩阵的转置将两侧相乘并求解。 Voila - 你将拥有一系列系数来最小化点和函数值之间的误差平方。