'随机'构造具有特定广义特征向量的对称/正定矩阵对？

Question

给定对称矩阵A和正定矩阵B，我们可以找到特征值和广义特征向量与scipy的scipy.linalg.eigh或matlab＆＃39; { {1}}。

是否有相应的直接方式进行反向？

例如，如何生成一对对称/正定矩阵，使得与最大幅度特征值相关联的广义特征向量是特定向量eig？

Answer 1

给定对称A和对称正定B，generalized eigenvalue problem是找到非奇异P和对角线D，这样

A P = B P D

D的对角线包含广义特征值和P列 是相应的广义特征向量。

对于这样的解，P和B满足B-正交性条件

P.T B P = I

“反向”问题可以表述为：给定非奇异P和对角线D， 找到对称A和对称，正定B这样

A P = B P D

这可以用一点代数来解决。 在P.T左侧乘以，并使用B-正交性：

P.T A P = D

所以

A = inv(P.T) D inv(P)

获得B，求解B-正交性条件

B = inv(P.T) inv(P)
  = inv(P P.T)

这些是给定P和D的A和B的公式。