Question

我想加快一笔总和。在一个案例中，它是：

S_ {x，y，k，l} Fu_ {ku} Fv_ {lv} Fx_ {kx} Fy_ {ly}

在另一种情况下，它是：

S_ {x，y}（S_ {k，l} Fu_ {ku} Fv_ {lv} Fx_ {kx} Fy_ {ly}）^ 2

注意：S_ {indices}：是这些指数的总和

第一个案例我已经弄清楚如何使用numpy的einsum，它会带来惊人的加速速度〜x160。

另外，我曾想过试图扩大广场，但不会成为杀手，因为我需要总结x，y，k，l，k，l而不是x，y，k，l？

这是一个实现，演示了我与einsum的区别和解决方案。

Nx = 3
Ny = 4
Nk = 5
Nl = 6
Nu = 7
Nv = 8
Fx = np.random.rand(Nx, Nk)
Fy = np.random.rand(Ny, Nl)
Fu = np.random.rand(Nu, Nk)
Fv = np.random.rand(Nv, Nl)
P = np.random.rand(Nx, Ny)
B = np.random.rand(Nk, Nl)
I1 = np.zeros([Nu, Nv])
I2 = np.zeros([Nu, Nv])
t = time.time()
for iu in range(Nu):
    for iv in range(Nv):
        for ix in range(Nx):
            for iy in range(Ny):
                S = 0.
                for ik in range(Nk):
                    for il in range(Nl):
                        S += Fu[iu,ik]*Fv[iv,il]*Fx[ix,ik]*Fy[iy,il]*P[ix,iy]*B[ik,il]
                I1[iu, iv] += S
                I2[iu, iv] += S**2.
print time.time() - t; t = time.time()
# 0.0787379741669
I1_ = np.einsum('uk, vl, xk, yl, xy, kl->uv', Fu, Fv, Fx, Fy, P, B)
print time.time() - t
# 0.00049090385437
print np.allclose(I1_, I1)
# True
# Solution by expanding the square (not ideal)
t = time.time()
I2_ = np.einsum('uk,vl,xk,yl,um,vn,xm,yn,kl,mn,xy->uv', Fu,Fv,Fx,Fy,Fu,Fv,Fx,Fy,B,B,P**2)
print time.time() - t
# 0.0226809978485 <- faster than for loop but still much slower than I1_ einsum
print np.allclose(I2_, I2)
# True

如图所示，我已经成功完成了I1_，我已经找到了如何使用einsum I1进行上述操作。

修改

我通过扩大广场添加了如何做I2_但速度提升有点令人失望并且可以预期......〜x3.47加速比~x160

EDIT2：

加速似乎不一致，我在x40和x1.2之前得到了，但现在获得了不同的数字。无论哪种方式，差异和问题仍然存在。

EDIT3： 我试图简化我实际使用的总和但是搞砸了，上面的总和允许@ user5402提供的优秀答案。

我已经编辑了上面的代码来演示下面的总和：

I1 = S_ {x，y，k，l} Fu_ {ku} Fv_ {lv} Fx_ {kx} Fy_ {ly} P_ {xy} B_ {kl}

I2 = S_ {x，y}（S_ {k，l} Fu_ {ku} Fv_ {lv} Fx_ {kx} Fy_ {ly} P_ {xy} B_ {kl}）^ 2

Answer 1

（更新：跳到最后，看看结果表示为几个矩阵乘法。）

我认为你可以通过使用身份来大大简化计算：

enter image description here

例如，

S_{k,l} Fu_{ku} Fv_{lv} Fx_{kx} Fy_{ly}
  = S_{k,l} Fu_{ku} Fx_{kx} Fv_{lv} Fy_{ly}            -- rearrange the factors
            \___ A ____/    \___ B ____/
  = ( S_k Fu_{ku} Fx_{kx} ) * ( S_l Fv_{lv} Fy_{ly} )  -- from the identity
  =   A_{ux}                * B_{vy}

其中A_{ux}仅取决于u而x和B_{vy}仅取决于v和y。

对于平方和，我们有：

S_k [ S_l Fu_{ku} Fv_{lv} Fx_{kx} Fy_{ly} ]^2
  = S_k Fu_{ku} Fx_{kx} * [ S_l Fv_{lv} Fy_{ly} ]^2
  = S_k Fu_{ku} Fx_{kx} * B_{vy}^2                 -- B is from the above calc.
  = B_{vy}^2 * S_k Fu_{ku} Fx_{kx}                 -- B_vy is free of k
  = B_{vy}^2 * A_{ux}                              -- A is from the above calc.

继续x和y之后的总和时会发生类似的减少：

S_{xy} A_{ux} * B_{vy}
  = S_x A_{ux} * S_y B_{vy}                        -- from the identity
  =  C_u       *    D_v

然后最后总结u和v：

S_{uv} C_u D_v = (S_u C_u) * (S_v D_v)             -- from the identity

希望这有帮助。

更新：我刚刚意识到可能是你要计算的平方和 [ S_k S_l ... ]^2在这种情况下，您可以这样继续：

[ S_k  S_l Fu_{ku} Fv_{lv} Fx_{kx} Fy_{ly} ]^2
  =  [ A_{ux}                * B_{vy} ]^2
  =  A_{ux}^2 * B_{vy}^2

因此，当我们总结过来的变量：

S_{uvxy} A_{ux}^2 B_{vy}^2
  = S_{uv} ( S_{xy}  A_{ux}^2 B_{vy}^2 )
  = S_{uv} ( S_x A_{ux}^2 ) * ( S_y B_{vy}^2 )     -- from the identity
  = S_{uv}     C_u          *      D_v
  = (S_u C_u) * (S_v D_v)                          -- from the identity

更新2：这可以简化为几个矩阵乘法。

A和B的定义：

A_{uv} = S_k Fu_{ku} Fx_{kx}
B_{vy} = S_l Fv_{lv} Fy_{ly}

也可以用矩阵形式写成：

A = (transpose Fu) . Fx             -- . = matrix multiplication
B = (transpose Fv) . Fy

以及C和D的定义：

C_u = S_x A_{ux}
D_v = S_y B_{vy}

我们看到向量C只是A的行和，而向量D只是B的行和。因为整个求和的答案（不是平方）是：

total = (S_u C_u) * (S_v D_v)

我们看到总和只是A的所有矩阵元素的总和乘以B的所有矩阵元素的总和。

这是numpy代码：

from numpy import *
# ... set up Fx, Fv, Fu, Fy as above...

A = Fx.dot(Fu.transpose())
B = Fv.dot(Fy.transpose())
sum1 = sum(A) * sum(B)

A2 = square(A)
B2 = square(B)
sum2 = sum(A2) * sum(B2)

print "sum of terms:", sum1
print "sum of squares of terms:", sum2

Answer 2

因为问题已经改变，我会开始一个新的答案。

试试这个：

E = np.einsum('uk, vl, xk, yl, xy, kl->uvxy', Fu, Fv, Fx, Fy, P, B)
E1 = np.einsum('uvxy->uv', E)
E2 = np.einsum('uvxy->uv', np.square(E))

我发现它的运行速度和I1 _的时间一样快。

这是我的测试代码：http://pastebin.com/ufwy7cLy

如何计算总和平方和的总和？

2 个答案: