向量加法的误差估计

Question

第14页的Cross中的Kahan表明，当两个交叉向量之间的角度接近零或π时，真实叉积与使用浮点运算计算的角度之间的角度会降低，此角度测量由交叉向量跨越的平面法线的浮点计算误差。随着接近奇点，浮点法线的正交性变得更加妥协。根据Kahan的说法，错误是：

| sin（∠（t_true，t_float））| ≤u+（2 /√3）u | csc（∠（t_1，t_2））|

其中t_true是将十字积t_1⊗t_2取无限精度后的正交向量，而t_float是使用浮点运算的叉积的结果，u是单位四舍五入。

我的问题：两个向量之和是否存在类似的不等式。也就是说，当要加的矢量之间的角度接近零或π时，浮点矢量和的距离是多远？在我的特定应用中，向量将是单位长度。

编辑：我应该补充说，作为两个向量之和的向量将被标准化。

Answer 1

将c作为计算出的v-w，e是c与您想要计算的内容之间的差异，即(v+deltav) - (w+deltaw)。在这里，e说明了计算中的舍入误差和输入中的逼近误差。

将r作为比率||e|| / ||c||。这必须小于1，否则我们根本不知道真正的解决方案在哪里。

通过三角学，c和c+e之间的角度为arccos(c^T (c+e) / sqrt(c^T c (c+e)^T (c+e))) = arccos((1 + alpha r) / sqrt(1 + 2 alpha r + r^2)，其中-1 <= alpha <= 1是e^T c与sqrt(c^T c e^T e)的比率。当c完全c+e时，alpha和-r之间角度的余弦最小化，此时角度为arccos(sqrt(1 - r^2)) = arcsin(r)。

你可以从正弦定律得到相同的结果。给定c和||e||/||c||上的约束，可以合理地c+e的点位于以c半径||e||为中心的圆上。最差c+e将在边界上，从原点到最差c+e的线将与从c+e到c的直线成直角。因此，与c相对的角度是直角。根据正弦定律，||e|| / sin(theta) = ||c||，从中得到相同的结果。