证明二进制搜索树的有序遍历已排序（无归纳）

Question

我可以证明按顺序遍历二叉搜索树会产生值的排序进度，而不使用归纳法吗？

这不是一个功课问题。

Answer 1

这是我的矛盾证明草图。

我们的目标是证明有限有序二叉树的有序遍历产生有序序列。

为了通过矛盾来证明这一点，我们首先假设相反：存在一些有序二叉树，使得它的有序遍历产生一个非有序序列。由于我们的树是有限的，所以必须有一个最小的这种情况。让我们称这个树为T。

现在，T不能是单例（即，只是一个叶子），因为单例的遍历产生一个长度为1的序列，这是一个非常有序的。

因此T必须具有某种形状，L-x-R其中x是分别连接左右子树L和R的顶点值。

由于T是最小的并且是有序的，因此L和R必须是有序树，其有序遍历产生有序序列。此外，我们知道L中的所有项目都不能大于x，R中的所有项目都不能小于x。现在，T的遍历是[T] = [L] ++ [x] ++ [R]。但是这个序列必须是有序的，这与我们关于T的初始假设相矛盾。

因此不存在这样的T，因此任何有序二叉树的有序遍历必须产生有序序列。

Howzat？