计算国际象棋材料组合数量的简单方法

Question

在国际象棋中，一个玩家可以拥有不同的材料组合，例如：

“1个女王，2个骑士，2个骑士，2个主教，8个典当+国王”是一个组合

如果玩家失去一位主教：

“1个女王，2个骑士，2个骑士，1个主教，8个典当+国王”是另一个组合

..之后，如果一个兵被提升为骑士，那么：

“1个女王，2个车手，3个骑士，1个主教，7个棋子+国王”是另一个组合

好的，以下组合无效：

“5个女王，5个车，5个骑士，5个主教，2个棋子+国王”

因为缺乏促进的棋子。 （5个皇后=需要4个兵）（5个车队=需要3个兵）等等，所以需要4 + 3 + 3 + 3 = 13个兵。由于棋盘上有2个棋子，因此最多可以推广6个棋子。无效。

有多少有效的材料组合？ 我使用以下C代码计算了8694个组合。问题是：

您是否找到更简单/有效的算法来计算它？ （更少的周期，更少的计算，更清晰的代码等）......甚至数学公式??

total = 0;
for (queens=0;queens<=9;queens++)
for (rooks=0;rooks<=10;rooks++)
for (bishops=0;bishops<=10;bishops++)
for (knights=0;knights<=10;knights++)
for (pawns=0;pawns<=8;pawns++)
{
    pawnsRequested = 0;
    if (queens>1) pawnsRequested += queens - 1;
    if (rooks>2) pawnsRequested += rooks - 2;
    if (bishops>2) pawnsRequested += bishops - 2;
    if (knights>2) pawnsRequested += knights - 2;
    if (8-pawns < pawnsRequested) continue;
    total++;
}
printf("%i\n",total); 

Answer 1

如果作品类型是独立的，那么我们可以简单地加倍：皇后的10种可能性乘车时间的11种可能性等等。然而，我们需要跟踪典当用法。这里有一个名为generating functions的数学技巧，我们可以对其进行编码，例如，白车作为

3 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8,

其中x的幂表示所使用的棋子数，系数表示可能性的数量。在这里，有三种可能性，不需要促销的棋子（0,1,2），一个需要一个晋升的棋子（3），一个需要两个晋升的棋子（4）等等。现在我们可以将每个因素相乘（分别是女王，车手，主教，骑士，典当）。

  (2 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8)
* (3 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8)
* (3 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8)
* (3 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8)
* (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8)

来自Wolfram Alpha。

1到x^8的系数，即所需0到8个卒子的可能性数量，分别为54,135,261,443,693， 1024,1450,1986,2648，总结为8694。