Question

在本文中：http://googleresearch.blogspot.sg/2006/06/extra-extra-read-all-about-it-nearly.html，它提到最快的排序算法有一个错误（左+右）/ 2，它指出解决方案使用的是left+(right-left)/2而不是{{1} }。解决方案也在问题Bug in quicksort example (K&R C book)?

中给出

我的问题是为什么(left+right)/2可以避免溢出？怎么证明呢？提前谢谢。

Answer 1

根据定义，您有left < right。

因此，right - left > 0，以及left + (right - left) = right（来自基本代数）。

因此left + (right - left) / 2 <= right。因此，不会发生溢出，因为操作的每一步都受right的值限制。

相比之下，请考虑错误的表达式(left + right) / 2。 left + right >= right，由于我们不知道left和right的值，因此该值完全有可能溢出。

Answer 2

基本逻辑。

与原始

其中语句3显然是错误的，因为left可以是MAX_INT（语句1），right也可以（语句2）。

Answer 3

假设（为了使示例更容易），最大整数为100，left = 50和right = 80。如果你使用天真的公式：

int mid = (left + right)/2;

添加会导致130溢出。

如果您改为：

int mid = left + (right - left)/2;

你不能在(right - left)中溢出，因为你从较大的数字中减去一个较小的数字。这总是导致更小的数字，因此它不可能超过最大值。例如。 80 - 50 = 30。

由于结果是left和right的平均值，因此它必须位于它们之间。由于它们都小于最大整数，它们之间的任何东西也都小于最大值，所以没有溢出。

Answer 4

一个简单的工作示例将显示它。为简单起见，假设数字溢出999以上。如果我们有：

left = 997
right = 999

然后：

left + right = 1995

在我们到达/2之前已经溢出。但是：

right - left = 2
(right-left)/2 = 1
left + (right-left)/2 = 997 + 1 = 998

所以我们避免了溢出。

更普遍（正如其他人所说）：如果left和right都在范围内（假设为right > left），则(right-left)/2将在范围内，因此必须left + (right-left)/2，因为这必须小于right（因为您将left增加了right之间差距的一半。

Answer 5

（这是一个直观的解释而不是证明。）

假设您的数据为unsigned char，left = 100和right = 255（因此right为范围边缘）。如果你执行left + right，那么你将获得355，这不符合unsigned char范围，因此会溢出。

但是，(right-left)/2的数量为X，left + X < right < MAX为MAX，其中unsigned char为{{1}}为255。这样，您可以确保总和永远不会溢出。

Answer 6

由于Java中的int数据类型为32位（假定是一种编程语言），因此超过32位的任何值都会被翻转。用数字表示，这意味着在Integer.MAX_VALUE（2147483647）上增加1后，返回值将为-2147483648。

来到上面的问题，我们假设以下内容：

int left = 1;
int right = Integer.MAX_VALUE;
int mid;

案例1：

mid = (left +right)/2; 
//Here the value of left + right would be -2147483648 which would overflow.

案例2：

mid = left + (left - right)/2;
//This would not have the same problem as above as the value would never exceed "right".

理论上：

这两个值均与 left +（right-left）/ 2 =（2 * left + right-left）/ 2 =（left + right）/ 2

希望这可以回答您的问题。