灌注大炮

Question

考虑

(a->a) -> [a] -> Bool

此签名是否有任何有意义的定义？也就是说，一个定义不仅仅是忽略了论证？

x -> [a] -> Bool

似乎有很多这样的签名可以立即排除。

Answer 1

CarstenKönig在评论中建议使用自由定理。我们试试吧。

灌注大炮

我们从与(a->a) -> [a] -> Bool类型对应的generating the free theorem开始。这是一个属性，每个具有该类型的函数必须满足，如着名的Wadler的论文Theorems for free!所建立的那样。

forall t1,t2 in TYPES, R in REL(t1,t2).
 forall p :: t1 -> t1.
  forall q :: t2 -> t2.
   (forall (x, y) in R. (p x, q y) in R)
   ==> (forall (z, v) in lift{[]}(R). f_{t1} p z = f_{t2} q v)

lift{[]}(R)
  = {([], [])}
  u {(x : xs, y : ys) | ((x, y) in R) && ((xs, ys) in lift{[]}(R))}

一个例子

为了更好地理解上面的定理，让我们来看一个具体的例子。要使用该定理，我们需要采用任意两种类型t1,t2，因此我们可以选择t1=Bool和t2=Int。

然后我们需要选择一个函数p :: Bool -> Bool（比如p=not）和一个函数q :: Int -> Int（比如q = \x -> 1-x）。

现在，我们需要在R和Bool之间定义关系Int。我们采用标准布尔值＆lt; - ＆gt;整数对应，即：

R = {(False,0),(True,1)}

（以上是一对一的对应关系，但通常不一定如此）。

现在我们需要检查(forall (x, y) in R. (p x, q y) in R)。我们只有两种情况需要检查(x,y) in R：

Case (x,y) = (False,0): we verify that (not False, 1-0) = (True, 1) in R   (ok!)
Case (x,y) = (True ,1): we verify that (not True , 1-1) = (False,0) in R   (ok!)

到目前为止一切顺利。现在我们需要“提升”关系以便在列表上工作：例如

[True,False,False,False] is in relation with [1,0,0,0]

此扩展关系是上面名为lift{[]}(R)的关系。

最后，该定理指出，对于任何函数f :: (a->a) -> [a] -> Bool，我们必须

f_Bool not [True,False,False,False] = f_Int (\x->1-x) [1,0,0,0]

上面f_Bool只是明确表示f用于a=Bool的专业案例。

这样做的力量在于我们不知道f的代码到底是什么。我们只是通过查看其多态类型来推断f必须满足的内容。

由于我们从类型推理中得到类型，并且我们可以将类型转换为定理，我们真的得到“免费的定理！”。

回到原来的目标

我们想要证明f不使用它的第一个参数，并且它不关心它的第二个列表参数，除了它的长度。

为此，将R作为普遍真实的关系。然后，lift{[]}(R)是一个关系，它关联两个列表，如果它们具有相同的长度。

然后该定理意味着：

forall t1,t2 in TYPES.
 forall p :: t1 -> t1.
  forall q :: t2 -> t2.
   forall z :: [t1].
    forall v :: [t2].
     length z = length v ==> f_{t1} p z = f_{t2} q v

因此，f忽略了第一个参数，只关心第二个参数的长度。

QED

Answer 2

你自己不能对x做任何有趣的事情。

您可以使用[x]执行操作;例如，您可以计算列表中有多少个节点。所以，例如，

foo :: (a -> a) -> [a] -> Bool
foo _ [] = True
foo _ (_:_) = False

bar :: x -> [a] -> Bool
bar _ [] = True
bar _ (_:_) = False

如果你有一个x和一个将x变成其他东西的函数，你可以做一些有趣的事情：

big :: (x -> Int) -> x -> Bool
big f n = if f n > 10 then True else False

如果x属于某个类型类，那么您可以在其上使用该类的所有方法。（这实际上是前一个特例。）

double :: Num x => x -> x
double = (2*)

另一方面，有很多类型的签名没有有效的功能：

magic :: x -> y
magic = -- erm... good luck with that!

我在某处读到只涉及存在实数函数的变量的类型签名恰好是真实的逻辑定理。（我不知道这个属性的名称，但它非常有趣。）

f1 :: (x -> y) -> x -> y
-- Given that X implies Y, and given that X is true, then Y is true.
-- Well, duh.

f2 :: Either (x -> y) (x -> z) -> x -> Either y z
-- Given that X implies Y or X implies Z, and given X, then either Y or Z is true.
-- Again, duh.

f3 :: x -> y
-- Given that X is true, then any Y is true.
-- Erm, no. Just... no.

输入永远不会有意义的签名

2 个答案:

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一个例子

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