Question

是否存在非递归方式，我可以通过添加最后3个数字来制作＆＃34;斐波那契＆＃34;序列？

这是我尝试这样做的递归方式。

def fib3(n):
    if n < 3:
        return 1
    else:
        return fib3(n-1) + fib3(n-2) + fib3(n-3)

返回1+1+1+3+5+9+17...+(n-1) + (n-2) + (n-3)

任何帮助将不胜感激。

提前致谢

Answer 1

是的，非常优雅，具有Python的多重任务能力：

>>> def fib3(n):
...     if n < 3:
...         return 1
...     a = b = c = 1
...     for i in range(3, n):
...         # We "shift" a, b, and c to the next values of the sequence.
...         a, b, c = b, c, (a + b + c)
...     return c
...
>>> fib3(4)
3
>>> fib3(5)
5
>>> fib3(6)
9
>>> fib3(7)
17

迭代方法绝对优先于递归方法 - as @mu writes，递归实现的运行时间约为O（3 ^ n），而此方法为O（n）。

Answer 2

fib_sum计算m最后一个整数：

>>> def fib_sum(n,m):
        if n < m:
            return "n should be greater than m"
        a,b,sumit = 0,1,0
        for x in range(n):
            print b,
            if x >= n-m:
                sumit += b
            a,b = b,a+b
        return sumit

>>> fib_sum(3,4)
'n should be greater than m'
>>> fib_sum(3,2)
1 1 2
3
>>> fib_sum(3,1)
1 1 2
2
>>> fib_sum(2,1)
1 1
1
>>> fib_sum(2,2)
1 1 
2
>>> fib_sum(7,2)
1 1 2 3 5 8 13
21
>>> fib_sum(7,3)
1 1 2 3 5 8 13
26
>>> fib_sum(8,6)
1 1 2 3 5 8 13 21
52
>>> fib_sum(8,8)
1 1 2 3 5 8 13 21
54

Answer 3

我已经到了晚会，但是：人们很容易得出一个公式来得到任何线性递归的第n个元素，比如Fibonacci序列或其泛化，而不必计算所有中间元素。假设你的重现是f [n] = a [1] f [n - 1] + a [2] f [n - 2] + ... + a [m] f [n - m]。假设f [n] =（某些常数）^ n。（这是一种经常出现在微分方程解决方案中的幸运猜测假设。我不知道如何以先验的方式证明它。通过实际发现这样的事实可以证明这是正当的。常数。）那么常数必须是多项式的根x ^ m - a [1] x ^（m - 1） - a [2] x ^（m - 2） - ... - a [m] 。任何解决方案的线性组合也必须是解决方案。通过求解从前m个值导出的线性系统，可以找到线性组合的系数c [1]，...，c [m]（显然，序列中所有后面的值的值由第一个确定） m值）。

对于所述的递归f [n] = f [n - 1] + f [n - 2] + f [n - 3]，我们得到[1] = a [2] = a [3] = 1和x ^ 3 - x ^ 2 - x - 1的根分别为 - 0.6063％i - 0.4196,0.6063％i - 0.4196,1.839。给出前3个值为1,1,1。求解c [1] + c [2] + c [3] = 1，c [1] a [1] + c [2] a [2] + c [3] a [3] = 1，c [1] a [1] ^ 2 + c [2] a [2] ^ 2 + c [3] a [3] ^ 2 = 1表示c [1 ]，c [2]，c [3]分别得到0.3592％i + 0.2822,0.2822-0.3592％i，0.4356。（我把它们写成近似的浮点数。作为具有有理系数的多项式的根，这些是代数数，但精确的表达式可能很容易变得混乱。）

总之，f [n] = c [1] a [1] ^ n + c [2] a [2] ^ n + c [3] a [3] ^ n，具有所述的值a和c，是一个函数，它给出了递归的第n个元素f [n] = f [n - 1] + f [n - 2] + f [n - 3]，f [2] = f [1] = f [0] = 1。

我计算了Maxima中的a和c。如果有任何兴趣，我可以更多地谈谈我是如何做到的。

最后3个数字的斐波那契序列

3 个答案: