Question

我注意到Writer m和Either e monad之间存在双重关系。如果m是幺半群，那么

unit :: () -> m
join :: (m,m) -> m

可用于形成monad：

return is composition: a -> ((),a) -> (m,a)
join is composition: (m,(m,a)) -> ((m,m),a) -> (m,a)

（）的双重是Void（空类型），产品的双重是副产品。每种类型的e都可以被赋予“comonoid”结构：

unit :: Void -> e
join :: Either e e -> e

以明显的方式。现在，

return is composition: a -> Either Void a -> Either e a
join is composition: Either e (Either e a) -> Either (Either e e) a -> Either e a

这是Either e monad。箭头遵循完全相同的模式。

问题：是否可以编写一个能够同时执行Either e和Writer m的通用代码，具体取决于给定的幺半群？

Answer 1

我不会说这些monad是绝对双重的，而是它们都是由以下结构产生的：给定monoidal category（C，⊗，1）和C中的代数A，考虑monad将X发送到A⊗X。在第一种情况下，C是Hask，⊗是×，代数是幺半群，在第二种情况下C是Hask，⊗是E（Either），而代数只是一种类型（每种类型都是一种独特的代数 - 这就是你所谓的“共生”，尽管这通常意味着别的东西，见下文）。按照惯例，我在一个假想的世界工作，其中⊥不存在，因此×实际上是一种产品，依此类推。对于幺半群类别，可能使用合适的类型类来捕获这种常见的泛化（我太累了，无法理解目前在这方面正在尝试做什么类别 - 并且因此同时将Writer和Either定义为monad（ modulo newtypes，可能）。

至于Writer m-well的分类对偶，它取决于你想要考虑的是什么，但最可能的候选者似乎是（，）m上的comonad结构，没有任何m条件：

instance Comonad ((,) m) where
    coreturn (m, a) = a
    cojoin (m, a) = (m, (m, a))

（注意这里是我们使用的地方，m是一个comonoid，即我们有地图m→（），m→m×m）。

Answer 2

以下是代码：

{-# LANGUAGE FlexibleInstances, EmptyDataDecls, MultiParamTypeClasses,
FunctionalDependencies, GeneralizedNewtypeDeriving, UndecidableInstances #-}

import Control.Arrow (first, second, left, right)
import Data.Monoid

data Void
data Iso a b = Iso { from :: a -> b, to :: b -> a}

-- monoidal category (Hask, m, unit)
class MonoidalCategory m unit | m -> unit where
  iso1 :: Iso (m (m x y) z) (m x (m y z))
  iso2 :: Iso x (m x unit)
  iso3 :: Iso x (m unit x)

  map1 :: (a -> b) -> (m a c -> m b c)
  map2 :: (a -> b) -> (m c a -> m c b)

instance MonoidalCategory (,) () where
  iso1 = Iso (\((x,y),z) -> (x,(y,z))) (\(x,(y,z)) -> ((x,y),z))
  iso2 = Iso (\x -> (x,())) (\(x,()) -> x)
  iso3 = Iso (\x -> ((),x)) (\((),x) -> x)
  map1 = first
  map2 = second

instance MonoidalCategory Either Void where
  iso1 = Iso f g
         where f (Left (Left x)) = Left x
               f (Left (Right x)) = Right (Left x)
               f (Right x) = Right (Right x)

               g (Left x) = Left (Left x)
               g (Right (Left x)) = Left (Right x)
               g (Right (Right x)) = Right x
  iso2 = Iso Left (\(Left x) -> x)
  iso3 = Iso Right (\(Right x) -> x)
  map1 = left
  map2 = right

-- monoid in monoidal category (Hask, c, u)
class MonoidM m c u | m -> c u where
  mult :: c m m -> m
  unit :: u -> m

-- object of monoidal category (Hask, Either, Void)
newtype Eith a = Eith { getEith :: a } deriving (Show)

-- object of monoidal category (Hask, (,), ())
newtype Monoid m => Mult m = Mult { getMult :: m } deriving (Monoid, Show)

instance MonoidM (Eith a) Either Void where
  mult (Left x) = x
  mult (Right x) = x
  unit _ = undefined

instance Monoid m => MonoidM (Mult m) (,) () where
  mult = uncurry mappend
  unit = const mempty

instance (MonoidalCategory c u, MonoidM m c u) => Monad (c m) where
  return = map1 unit . from iso3
  x >>= f = (map1 mult . to iso1) (map2 f x)

用法：

a = (Mult "hello", 5) >>= (\x -> (Mult " world", x+1))
                                 -- (Mult {getMult = "hello world"}, 6)
inv 0 = Left (Eith "error")
inv x = Right (1/x)
b = Right 5 >>= inv              -- Right 0.2
c = Right 0 >>= inv              -- Left (Eith {getEith="error"})
d = Left (Eith "a") >>= inv      -- Left (Eith {getEith="a"})

Answer 3

严格地说，()和Void不是双重的 - ⊥的存在意味着所有类型都有人居住，因此⊥是Void的唯一居民，使其成为您期望的终端对象。 ()有两个值，所以不相关。如果你手动⊥离开，那么()就是终点，Void就像希望的那样是最初的。

我认为你的例子也不是一个类似的结构 - 一个comonoid的签名应该是这样的，我想：

class Comonoid a
    coempty :: a -> ()
    coappend :: a -> (a, a)

如果你考虑一下等效的共生法则必须是什么，我认为最终会毫无用处。

我想知道，如果应用于代数数据类型，你所获得的是与自然界的标准和/产品幺半群更密切相关吗？ Void和Either为0 / +，而()和(,)为1 / *。但我不确定如何证明其余部分的合理性。

monad是作家吗？要么是绝对的双重？

3 个答案: