Question

我正在编写一个加密方法的代码，用于使用重复平方来计算x ^ d模数

public static long repeatedSquaring(long x, long d, long n){
        x = x%n;
        boolean dj = d % 2 == 1;
        long c = dj ? x : 1;

        d = d / 2;
        while (d > 0){
            dj = d % 2 == 1;
            x = x * x % n; //Here
            if (dj)
                c = c * x % n; //and here..
            d = d / 2;
        }
        return c;
    }

当n很小时，此代码可以正常工作。但是使用n > sqrt(Long.MAX_VALUE)会产生意外结果。由于使用x ≈ n，我们可以x*x > Long.MAX_VALUE，然后模数运算符会将不正确的值分配给x（或c）。
所以，我的问题是，我们如何只使用数学相关的方法计算（A * B）％N（都是long类型）。
我不想使用BigInteger（BigA.multiply(BigB).remainder(BigN)或我们可以直接使用BigX.modPow(BigD, BigN)来解决这个大问题。）我认为普通计算会比String计算运行得更快吗？除了我的问题，所有的临时值都是long类型＆＃39;足够的＆＃39;。
我想知道解决方案在最坏的情况下可以正常工作：A, B, N <≈ Long.MAX_VALUE。

Answer 1

乘法可以在log（B）时间内与指数相似

if（b为奇数）a +乘（2 * a，（b-1）/ 2）mod N
否则乘以（2 * a，b / 2）mod N

这可以工作到longvalue / 2

http://en.wikipedia.org/wiki/Montgomery_reduction可能更合理

Answer 2

真的，简短的回答是你需要使用BigInteger，即使你不想这样做。正如您所发现的那样，您目前采用的方法将超出long的范围;即使您改进算法，使用long仍然无法在答案中获得超过64位。

你说你用它来加密;但64位公钥加密是如此之弱，以至于比没有它更糟糕（因为它给出了一种错误的安全感）。对于公钥来说，即使1024位也不够，64位可能会或多或少地瞬间破解。

请注意，这与对称加密不同，其中密钥可以小得多。（但即便如此，64位还不足以阻止业余黑客。）

请参阅this question，其中指出64位RSA可以在几分之一秒内破解......那是四年前的事了！

计算乘以两个长数的余数？

2 个答案: