简答

w 与numpy.polyfit中的1σ错误之间的关系是

w = 1/sigma

这与每个人都期望的不同。

编辑：在我对Github的评论之后，numpy.polyfit 1.16文档现在明确指出“使用1 / sigma（不是1 / sigma ** 2）”以避免人们认为有公式中的拼写错误。

解释

在最小二乘拟合中，通常以这样的方式定义权重向量，即拟合最小化平方误差（参见例如Wikipedia或NIST）

chi2 = np.sum(weights*(p(x) - y)**2)

在1σ误差（标准偏差）“sigma”已知的常见情况下，人们有熟悉的教科书关系，其中权重是方差的倒数

weights = 1/sigma**2

然而，numpy.polyfit文档将权重定义为“应用于y坐标的权重”。这个定义不太正确。权重适用于拟合残差，而不仅适用于y坐标。

更重要的是，看看Numpy（v1.9.1）代码中的数学，看起来Numpy代码在最后的方块意义上解决了下面的线性问题，其中 w 向量确实乘以y坐标

(vander*w[:, np.newaxis]).dot(x) == y*w

但是，在最小二乘意义上求解上述数组表达式相当于使用括号内的 w 最小化下面的表达式

chi2 = np.sum((w*(vander.dot(x) - y))**2)

或者，使用Numpy文档的表示法

chi2 = np.sum((w*(p(x) - y))**2)

以 w 与1σ误差之间的关系为

w = 1/sigma

这与每个人都期望的不同。