找到它们之间距离的点

时间：2014-11-04 17:54:55

标签： algorithm geometry distance point euclidean-distance

以下是一个例子：

Suppose there are 4 points: A, B, C, and D

Given that Point A is at (0,0):
and the distances:

A to B: 7
A to C: 5
A to D: 9
B to C: 6
B to D: 5
C to D: 7

The goal would be to find a solution to points B(x,y), C(x,y) and D(x,y)

根据它们之间的距离，找到点（最多50个）的算法是什么？

1 个答案:

答案 0 :(得分：0)

好的，你有4个点A，B，C和D彼此分开，这样每对点之间的距离长度是AB = 7，AC = 5，BC = 6，AD = 9，BD = 5，CD = 7。 Axyz =（0,0,0），Bxyz =（7,0,0），Cxyz =（2.7,4.2,0），Dxyz =（7.5,1.9,4.6）（舍入到第一个小数）。

  • 我们在原点设置A点Axyz =（0,0,0）。
  • 我们将点B设置为x = 7，y = 0，z = 0 Bxyz =（7,0,0）。

  • 我们通过使用余弦定律找到C点的x坐标：

  • （（AB ^ 2 + AC ^ 2-BC ^ 2）/ 2）/ Bx = Cx

  • （（7- ^ 2 + 5 ^ 2-6 ^ 2）/ 2）/ 7 =
  • （（49 + 25-36）/ 2）/ 7 = 38/14 = 2.714286
  • 然后我们用毕达哥拉斯定理找到Cy：
  • SQRT（AC ^ 2-CX ^ 2）=赛扬
  • SQRT（25-7.367347）= 4.199
  • 所以Cxyz =（2.714,4.199,0）
  • 我们发现Dx与发现Cx的方式大致相同：
  • （（AB ^ 2 + AD ^ 2-BD ^ 2）/ 2）/ Bx = Dx
  • （（49 + 81-25）/ 2）/ 7 = 7.5 = Dx
  • 我们通过稍微不同的公式找到Dy：
  • （（（AC ^ 2 + AD ^ 2-CD ^ 2）/ 2） - （CX DX *））/ DY
  • （（（25 + 81-49）/ 2） - （2.714 * 7.5））/ 4.199 = 1.94（约）
  • 找到Dx和Dy，我们可以通过使用毕达哥拉斯定理找到Dz：
  • sqrt（AD ^ 2-Dx ^ 2-Dy ^ 2）=
  • sqrt（9 ^ 2-7.5 ^ 2-1.94 ^ 2）= 4.58
  • 所以Dxyz =（7.5,1.94,4.58）

如果在每组50个点之间有成对距离，则可能需要多达49个维度才能获得所有点的坐标。如果A，B，C，D和E都彼此相隔10个长度单位，那么你需要4个空间维度 - 如果你引入另一个点（F），它与所有其他点也是等距的，那么你将需要5个维度。无论需要多少维度，算法的工作方式都相同（事实上，当需要最大维数时，它的效果最好）。当距离违反三角形规则时，算法也有效 - 例如AB = 3，AC = 4，BC = 13 - 坐标为A = 0,0; B = 3,0;和C = -24,23.66i。如果违反了三角形规则，那么一些坐标将只是虚构的。没什么大不了。 通常对于点G，可以找到坐标（x1st，x2nd，x3rd，x4th，x5th和x6th）：

  • G1st =（（AB ^ 2 + AG ^ 2-BG ^ 2）/ 2）/（第B1）
  • G2nd =（（（AC ^ 2 + AG ^ 2-CG ^ 2）/ 2） - （C1st * G1st））/（C2nd）
  • G3rd =（（（AD ^ 2 + AG ^ 2-DG ^ 2）/ 2） - （D1st G1st） - （D2nd G2nd））/（D3rd）
  • G4th =（（（AE ^ 2 + AG ^ 2-EG ^ 2）/ 2） - （E1st G1st） - （E2nd G2nd） - （E3rd * G3rd））/（E4th ）
  • G5th =（（（AF ^ 2 + AG ^ 2-FG ^ 2）/ 2） - （F1ST G1st） - （F2nd G2nd） - （F3rd G3rd） - （ F4th G4th））/（F5th）
  • G6th = SQRT（AG ^ 2-G1st ^ 2-G2nd ^ 2-G3rd ^ 2-G4th ^ 2-G5th ^ 2）

对于第5点，您可以找到使用lawofcosine计算的前三个坐标，并且您可以通过毕达索算法计算找到第四个坐标。对于第6个点，您可以找到前4个坐标和4个lawofcosine计算，然后通过毕达索算法计算得到最终坐标。对于第50个点，您可以找到前48个坐标和48个律法计算，第49个坐标是通过毕达索算法计算得到的。因此，对于50个点，将共计48个毕达哥拉斯定理计算加上1128个律法计算。

  • 算法相当简单：
  • A始终设置在原点，B设置为x = AB（或者更确切地说是B1st = AB）
  • 使用余弦定律（（AB ^ 2 + AC ^ 2-BC ^ 2）/ 2）/（B1st）找到C1st
  • 然后用毕达哥拉斯定理找到C2nd（sqrt（AC ^ 2-C1st ^ 2））
  • 但是如果C2nd = 0？这不一定是个问题，但它可能成为查找D2nd，D3rd，E2nd，E3rd，E4th等的问题。
  • 如果AB = 4，AC = 8，BC = 4，那么我们将得到A（0,0），B（4,0）和C（8,0）。如果AD = 4，BD = 8，并且CD = 12，那么找到D的坐标将是没有问题的，这将是D（-4,0）。
  • 但是，如果CD不等于12，那么我们就会遇到问题。例如，如果CD = 5，那么我们可能会发现我们应该返回并以不同的顺序计算点的坐标，例如ACDB，这样我们就可以得到A =（0,0,0）; C =（8 ，0,0）; d =（3.44,2.04,0）;和B =（4，-14.55,14.55i）。这是一个相当直观的解决方案，但它会中断算法的流程，因为我们必须倒退并以不同的顺序重新开始。
  • 不需要中断计算流程的问题的另一个解决方案是，每当毕康数算术计算给出零时，故意引入错误。 - 而不是零，将0.1或0.01作为C2nd坐标。这将允许人们继续计算剩余点的坐标而不会中断，并且最终结果的准确性将仅受到一点影响（事实上，无论如何，算法都会受到累积舍入误差的影响，所以这没什么大不了的）。在某些情况下，故意引入错误是获得解决方案的唯一方法：
  • 再次考虑4点A，B，C和D，距离如AB = 4，AC = 8，BC = 4，AD = 4，BD = 8，CD = 4（我们以前有过CD在12，CD在5）。当CD = 4时，无论您计算点数的顺序如何，都没有确切的解。来吧试试吧。
  • A =（0,0,0），B =（4,0,0），C =（8,0,0）......如果你在C2nd引入一个错误，那么你就把它放到0.1而不是零如果C =（8,0.1,0），则可以得到点D的坐标D =（ - 4,640,640i）的解。如果你为C2nd引入一个较小的错误，使C =（8,0.01,0），那么得到D =（ - 4,6400,6400i）。随着C2nd越来越接近零，D2nd和D3rd沿着同一方向越走越远。当两点之间的距离接近零时，有时会出现类似的结果。如果AB = 5，AC = 8，BC = 0，那么该算法将不会与实际等于零的距离一起工作。但它适用于BC = 0.000001。
  • 无论如何，我认为这回答了你一年前提出的问题。
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