甚至重复游戏以达到每位参与者的最大金额

Question

我参加了一场循环赛，我为8支球队创造了所有必要的比赛（每位参赛者7场比赛）。然而，我需要每个参与者10场比赛，这意味着我需要复制比赛，并且除此之外，1和5不能互相比赛。您可以从下面的数据中看到我为每个参与者（游戏数量）按照创建的顺序生成的游戏。

我试图找出最好的方法来复制比赛并最终分配比赛，使得没有比赛重复三次并且仍然保留每个参赛者10场比赛并且1和5不参加比赛彼此。任何建议将有助于如何解决这个问题。这也需要是一个通用的解决方案，其他可能性仍然有效。

1 (6)
    1 vs 2
    1 vs 3
    1 vs 4
    1 vs 6
    1 vs 7
    1 vs 8
2 (7)
    1 vs 2
    2 vs 4
    2 vs 3
    2 vs 6
    2 vs 5
    2 vs 8
    2 vs 7
3 (7)
    3 vs 4
    1 vs 3
    2 vs 3
    3 vs 7
    3 vs 8
    3 vs 5
    3 vs 6
4 (7)
    3 vs 4
    2 vs 4
    1 vs 4
    4 vs 8
    4 vs 7
    4 vs 6
    4 vs 5
5 (6)
    5 vs 6
    5 vs 7
    5 vs 8
    2 vs 5
    3 vs 5
    4 vs 5
6 (7)
    5 vs 6
    6 vs 8
    6 vs 7
    2 vs 6
    1 vs 6
    4 vs 6
    3 vs 6
7 (7)
    7 vs 8
    5 vs 7
    6 vs 7
    3 vs 7
    4 vs 7
    1 vs 7
    2 vs 7
8 (7)
    7 vs 8
    6 vs 8
    5 vs 8
    4 vs 8
    3 vs 8
    2 vs 8
    1 vs 8

Answer 1

首先，你没有严格定义什么是＆＃34;均匀分布＆＃34;配对。所以我建议这意味着每对球队都要打1场或2场比赛。有了这个限制，我有一个原始案例的解决方案和一般案例的一些想法。

原始案例

8支球队，每支球队必须打10场比赛，1支队伍不应该和5支球队一起打球。这是比赛矩阵：

    1  2  3  4  5  6  7  8
    ----------------------
1 | 0  2  2  1  0  1  2  2
2 | 2  0  1  2  1  2  1  1
3 | 2  1  0  2  2  1  1  1
4 | 1  2  2  0  2  1  1  1
5 | 0  1  2  2  0  2  2  1
6 | 1  2  1  1  2  0  1  2
7 | 2  1  1  1  2  1  0  2
8 | 2  1  1  1  1  2  2  0

相同的矩阵，细胞根据值着色：

此矩阵是对称的，每行（和每列）总计最多10个，这意味着每个团队的游戏总数根据需要为10。所有值都是1或2，除了主对角线上的零（团队不自己玩）和（1,5）和（5,1）单元格（团队1和5不相互玩）。

一般情况

我将解释如何通过多个步骤构建原始案例的矩阵。这些步骤可以针对几种不同的条件进行推广。但并不适合所有人。我不建议解决最常见的案例。

1. 从矩阵开始，所有参加比赛的球队都可以参加一场比赛。该矩阵的行总和为[6 7 7 7 6 7 7 7]，其中6代表位置1和5。
2. 尝试使每行的总和相同。为此，在1和8,1和7,5和4,5和3,2和6之间添加游戏。总和现在为[8 8 8 8 8 8 8 8]。好的。
3. 尝试为每个团队添加两个游戏，禁止前一个项目中的对。在此步骤中，仅对前四个团队执行此操作。在1和2,2和4,4和3,3和1之间添加游戏。总和现在为[10 10 10 10 8 8 8 8]。
4. 重复前四个小组的上一个模式。 Sum现在是[10 10 10 10 10 10 10 10]。每对队伍（允许参加比赛）可以进行1或2场比赛。我们已经完成了。

另一个想法，可能会有所帮助。在均匀分布的匹配中，允许对之间的游戏数量可以相差不超过1.我们可以将其视为：所有对都玩N个游戏，并且几个对玩N+1个游戏。我开始时所有对在我的解决方案中玩1场比赛。并且它给出了初始总和，必须通过选择这几对来玩一个额外的游戏来纠正。因此，一般问题可能重新拟定如下：如何将几个问题放入零对称矩阵的允许位置，以使行的总和等于给定的向量？