计算用于定义二次贝塞尔曲线子部分的参数

Question

我有一个描述为（startX，startY）到（anchorX，anchorY）并使用控制点（controlX，controlY）的二次贝塞尔曲线。

我有两个问题：

（1）我想根据x点确定该曲线上的y点。

（2）然后，在我的bezier上给出一个线段（由我的bezier曲线上的两个中间点定义（startX'，startY'，anchorX'，anchorY'）），我想知道控制点线段，使其与原始贝塞尔完全重叠。

为什么呢？我想要这些信息进行优化。我画了许多水平贝塞尔。当beziers大于屏幕时，性能会受到影响，因为渲染引擎最终渲染超出了可见范围。这个问题的答案将让我只渲染可见的内容。

Answer 1

第1部分

二次贝塞尔曲线的公式为：

B(t) = a(1-t)2    + 2bt(1-t)   + ct2
     = a(1-2t+t2) + 2bt - 2bt2 + ct2
     = (a-2b+c)t2+2(b-a)t + a

其中粗体表示矢量。在给出 B _x （t）的情况下，我们有：

x = (ax-2bx+cx)t2+2(bx-ax)t + ax

其中 v _x 是 v 的x分量。

根据二次公式，

     -2(bx-ax) ± 2√((bx-ax)2 - ax(ax-2bx+cx))
t = -----------------------------------------
             (2ax(ax-2bx+cx))

     ax-bx ± √(bx2 - axcx)
  = ----------------------
         ax(ax-2bx+cx)

假设存在一个解决方案，请将其插回到原始等式中，以便在给定的x处获得 B （t）的其他分量。

第2部分

您可以简单地将参数参数的域限制为[0的正确子区间，而不是生成与第一个部分重合的第二条Bezier曲线（我现在感觉不像是处理符号）。 1]。也就是说，使用第1部分为两个不同的x值找到t的值;将这些t值称为i和j。对于t∈[i，j]，绘制 B （t）。等价地，为t∈[0,1]绘制 B （t（j-i）+ i）。

Answer 2

t等式错误，你需要使用eq（1）

(1) x = (ax-2bx+cx)t2+2(bx-ax)t + ax

使用根的二次公式（2）求解。

           -b ± √(b^2 - 4ac)
  (2)  x = -----------------
              2a

其中

a = ax-2bx+cx
b = 2(bx-ax)
c = ax - x