获取整合的矢量值

Question

我正在尝试整合正弦函数。我的目标是不仅要获得一定距离之间的区域价值，还要获得综合课程的具体价值。

实现这一目标的一种方法是使用cumtrapz。我想使用积分或四元组得到相同的结果。所以我想知道是否有类似cumquad的东西？

我试着为自己写点东西，但它的效果很慢，而且似乎比cumtrapz更糟糕。后来我想整合测量数据。所以它不会像正弦一样简单。

这是我目前的代码：

a = 0; b = 10;

x = a:0.1:b; 
y = 2*sin(3*x);
pp = spline(x,y);

y2=zeros(1,length(y));
y3=zeros(1,length(y));

y2(1)=integral(@(x)ppval(pp,x),x(1),x(2));
y3(1)=integral(@(x)ppval(pp,x),x(1),x(2));
for a=2:(length(y)-1)

   y2(a) = y2(a-1)+integral(@(x)ppval(pp,x),x(a-1),x(a));
   y3(a) = y3(a-1)+quad(@(x)ppval(pp,x),x(a-1),x(a));

end
y4=cumtrapz(x,y);
% y5=cumsum(y);

plot(x,y)
hold on
plot(x,y2,'-ro')
plot(x,y3,'-kx')
plot(x,y4,'g')
syms x % compare with analytical result
ya=2*sin(3*x);
ya5=int(ya)+(2/3);
ezplot(x,ya5)

Answer 1

使用integral

我认为没有办法让MATLAB沿路径返回积分，因此您一次执行Δx的积分是正确的。 缓慢来自循环并随后重新启动每个integral调用。 您可以通过将每个区间上的积分作为向量值函数来避免循环。

数学

假设我们将 x 划分为 N <1> 区间 N 总边界，并将区间边界表示为 x _n 其中n∈{1,2,3 ...，N} ，使 x ₁ ≤x ₂ ≤x ₃ ...≤x _N 。 那么间隔上的任何积分都是

使用 u -substitution：

积分变为：

其中Δx _n = x _n - x _n-1

守则

现在，我们可以通过指定下限 x _n-1 来指定任何函数的区间积分，指定区间宽度Δx，并从 0 集成到 1 。 最好的部分是，如果下限和间隔宽度是向量，我们可以用 u 创建一个向量值函数，并使integral与选项'ArrayValued' = true集成

x    = a:0.1:b; 
xnm1 = x(1:end-1);
dx   = x(2:end) - xnm1;
fx   = @(x) 2*sin(3*x);
f    = @(u) dx .* fx(dx*u+xnm1);
y    = cumsum([0,integral(@(u)f(u),0,1,'ArrayValued',true)]);

cumsum说明了在给定时间间隔内的每个积分都需要添加前一个时间间隔的值。

在我的机器上，这比循环版本至少快一个数量级，并且随着间隔计数的增加而变得更好。

使用ode45

使用也可以使用ode45来执行集成。 它不如integral方法有效，但它在概念上可能更容易，看起来更清晰。 实际上，ode45比上面的积分方法慢大约10倍，当需要返回与integral 相同的绝对误差时。

a    = 0;
b    = 10;

% These options are necessary to approach the accuracy of integral
opt = odeset('RelTol',100*eps(),'AbsTol',eps());
sol = ode45(@(x,y) 2*sin(3*x),[a,b],0,opt);

x    = a:0.01:b; 
yint = deval(sol,x);