Question

我一直在研究依赖类型，我理解以下内容：

为什么universal quantification表示为依赖函数类型。 ∀(x:A).B(x)表示“适用于所有x类型A，其值为B(x)”。因此，它表示为一个函数，当给出类型x的任何值A时，返回类型B(x)的值。
为什么existential quantification表示为从属对类型。 ∃(x:A).B(x)表示“存在x类型A，其值为B(x)”。因此，它表示为一对，其第一个元素是类型x的特定值A，其第二个元素是类型B(x)的值。

旁白：值得注意的是，通用量化始终与material implication一起使用，而存在量化始终与logical conjunction一起使用。

无论如何，关于dependent types的维基百科文章指出：

依赖类型的反面是依赖对类型，依赖和类型或 sigma类型。它类似于副产品或不相交的联合。

对类型（通常是产品类型）是如何类似于不相交的联合（它是和类型）？这一直困扰着我。

此外，依赖函数类型如何与产品类型类似？

Answer 1

混淆源于对Σ类型的结构使用类似的术语以及它的值如何。

Σ（x：A）的值 B（x）是对 （a，b）其中a∈A和b∈B（a）。第二个元素的类型取决于第一个元素的值。

如果我们看一下Σ（x：A）B（x）的结构，那就是不相交的联合（联合产品）所有可能的x∈A B（x）。

如果 B（x）是常数（独立于 x ），那么Σ（x：A）B 将只是 | A | B 的副本，即A⨯B（2种类型的产品）。

如果我们查看Π（x：A）B（x）的结构，它是 B的产品（x）表示所有可能的x∈A。其值可以被视为 | A | -tuples，其中 -th组件的类型为 B（a）

如果 B（x）是常数（独立于 x ），那么Π（x：A）B 将只是 A→B - 从 A 到 B 的功能，即Bᴬ（ B 到 > A ）使用集合理论符号 - | A | 的产品 B 。

所以Σ（x∈A）B（x）是由 A 的元素索引的 | A | -ary副产品，而Π（x∈A）B（x）是 | A | - 由 A 元素索引的产品。

Answer 2

使用类型和函数键入从属对，从该类型的值到另一种类型。从属对具有第一类值的对的值和应用于第一类的第二类的值。

data Sg (S : Set) (T : S -> Set) : Set where
  Ex : (s : S) -> T s -> Sg S T

我们可以通过展示Either规范表达为sigma类型的方式来重新获取和类型：它只是Sg Bool (choice a b)其中

choice : a -> a -> Bool -> a
choice l r True  = l
choice l r False = r

是布尔的规范消除者。

eitherIsSg : {a b : Set} -> Either a b -> Sg Bool (choice a b)
eitherIsSg (Left  a) = Sg True  a
eitherIsSg (Right b) = Sg False b

sgIsEither : {a b : Set} -> Sg Bool (choice a b) -> Either a b
sgIsEither (Sg True  a) = Left  a
sgIsEither (Sg False b) = Right b

Answer 3

在PetrPudlák的回答的基础上，另一个以纯粹非依赖方式看待这一点的角度是注意Either a a类型与(Bool, a)类型是同构的。虽然后者乍一看是一种产品，但有理由说它是一种和型，因为它是a的两个实例的总和。

我必须使用Either a a代替Either a b执行此示例，因为后者表示为产品，我们需要 - 依赖于良好的类型。

Answer 4

好问题。这个名字可能来源于Martin-Löf，后者使用“一系列套装的笛卡尔积”这一术语作为pi类型。请参阅以下注释，例如： http://www.cs.cmu.edu/afs/cs/Web/People/crary/819-f09/Martin-Lof80.pdf 关键是虽然pi类型原则上类似于指数，但您总是可以将指数看作n-ary乘积，其中n是指数。更具体地，非依赖性函数A - > B可以看作是指数型B ^ A或无穷乘积Pi_ {a in A} B = B x B x B x ... x B（A次）。在这种意义上，从属产品是潜在的无限乘积Pi_ {a in A} B（a）= B（a_1）x B（a_2）x ... x B（a_n）（A中每a_i一次）。 / p>

依赖和的推理可能类似，因为您可以将产品视为n元和，其中n是产品的因素之一。

Answer 5

这可能是其他答案的冗余，但这是问题的核心：

对类型（通常是产品类型）是如何类似于不相交的联合（它是和类型）？这一直困扰着我。

但是什么是产品而是相等数量的总和？例如4×3 = 3 + 3 + 3 + 3。

对于类型，集合或类似事物，同样的关系也适用。实际上，非负整数只是有限集的去范畴。选择数字加法和乘法的定义，使得不相交的集合联合的基数是集合的基数之和，集合乘积的基数等于集合的基数的乘积。事实上，如果你用“羊群”代替“set”，这可能就是算法的发明。

Answer 6

首先，看看联产品是什么。

联产品是所有对象B_i的终端对象A，使得对于所有箭头B_i - > X有一个箭头B_i - ＆gt; A，和独特的A - > X使得相应的三角形通勤。

您可以将其视为带有B_i的Haskell数据类型A - ＆gt; A是一堆具有B_i类型的单个参数的构造函数。很明显，对于每个B_i - > X可以从A - >提供箭头。 X使得通过模式匹配可以将该箭头应用于B_i以获得X.

与sigma类型的重要联系是B_i中的索引i可以是任何类型，而不仅仅是一种自然数。

与上述答案的重要区别在于，它不必为该类型的每个值i都有一个B_i：一旦你定义了B_i∀i，你就有了一个总函数。

从Petr Pudlak的回答中可以看出，Π和Σ之间的差异在于，对于Σ，元组中的某些值B_i可能会丢失 - 对于某些i，可能没有相应的B_i。

Π和Σ之间的另一个明显区别是Π通过提供从乘积Π到每个B_i的第i个投影来表征B_i的乘积（这是函数i - > B_i的意思），但是Σ提供了相反的箭头 - 它提供从B_i到Σ的第i次注入。

依赖类型：依赖对类型如何类似于不相交联合？

6 个答案: