如何在MATLAB中没有任何内置函数或循环的情况下计算协方差矩阵？

Question

是否有可能在不使用MATLAB中的任何内置函数或循环的情况下找到矩阵的协方差？我完全不知道解决这个问题的想法。

我想的是：

cov(x,y) = 1/(n-1) .* (x*y)

但是，我认为这不会起作用。有什么想法吗？

Answer 1

这是如何数值计算协方差矩阵的一个很好的例子。 http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pmc/section5/pmc541.htm。但是，为了完整起见，我们将此放在这篇文章中。 我对你的意思有点困惑＆＃34;内置＆＃34;函数是因为协方差要求您对矩阵的列求和。如果您无法使用任何内置函数来总结这些元素，那么我不知道如何在不使用for循环的情况下执行此操作。 编辑：我想出了如何在不使用内置函数或循环的情况下执行此操作，但您需要使用size来确定矩阵中的行数。 ..除非你在函数中将其指定为常量。

在数值上，您可以像这样计算协方差矩阵：

基本上，协方差矩阵的i ^th 行和j ^th 列使得您可以得到列i的乘积之和减去列i的列j的平均值减去列j的平均值。现在，将它们相加，然后除以n - 1。这被称为unbiased estimator。您还会注意到此矩阵是对称的，因为即使您翻转顺序（即查看列j然后列i之后），答案应该仍然相同。我假设你不能使用MATLAB中的mean，所以让我们从第一原则开始。

首先，计算一个计算每列平均值的行向量。你可以做什么来计算所有列的总和，而不使用sum，因为它也是一个内置函数，将这个1s的行向量乘以矩阵A，输出将是一个行向量，包含所有列的总和。就这样，这样做：

one_vector(1:size(A,1)) = 1;
mu = (one_vector * A) / size(A,1);

第一行代码的技巧是我们动态创建一个与矩阵A中的行数长度相同的数组。我们完全填满了1s。请注意，您可以使用ones，但您说您无法使用任何内置函数。 mu将在所有列中包含我们的向量。

现在，让我们通过用平均值减去每一列来预处理数据，因为这就是我们所做的定义。要在没有任何内置函数的情况下执行此操作，您可以做的是使用各自的方法减去所有列，重复mu的次数与one_vector中的1次相同。因此：

A_mean_subtract = A - mu(one_vector, :);

这里有点棘手（而且很酷）。如果我们转置矩阵A，您将看到行成为列，列成为行。如果我们采用此转置并乘以原始矩阵，我们实际上会获得矩阵i的列j和列A之间的乘积之和。这是我们协方差计算的第一部分。然后我们除以n - 1。因此，我们的协方差就是：

covA = (A_mean_subtract.' * A_mean_subtract) / (size(A,1) - 1);

这是一个简单的例子，以及我在上面向您展示的网站上看到的内容。假设A是这样的：

A = [4 2 0.5; 4.2 2.1 0.59; 3.9 2.0 0.58; 4.3 2.1 0.62; 4.1 2.2 0.63]

A =

    4.0000    2.0000    0.5000
    4.2000    2.1000    0.5900
    3.9000    2.0000    0.5800
    4.3000    2.1000    0.6200
    4.1000    2.2000    0.6300

运行上面的代码，这就是我们得到的：

covA =

    0.0250    0.0075    0.0042
    0.0075    0.0070    0.0034
    0.0042    0.0034    0.0026

您会发现这也与MATLAB中的cov函数匹配：

>> cov(A)

ans =

0.0250    0.0075    0.0042
0.0075    0.0070    0.0034
0.0042    0.0034    0.0026

提示

如果您在MATLAB命令提示符下键入edit cov，您实际上可以看到他们如何在没有任何for循环的情况下计算协方差矩阵......这与我给你的答案基本相同：）

如果您想更有效地执行此操作

假设您可以使用sum和bsxfun，我们可以在更少（更有效率）的代码行中执行此操作。首先，使用sum：

计算平均向量，就像我们上面所做的那样

mu = sum(A) / size(A,1);

现在，要使用每列相应的平均值减去矩阵A，您可以使用bsxfun来帮助您进行此减法：

A_mean_subtract = bsxfun(@minus, A, mu);

现在，像以前一样计算你的协方差矩阵：

covA = (A_mean_subtract.' * A_mean_subtract) / (size(A,1) - 1);

你应该得到与我们之前看到的完全相同的结果。

关于稳定性的小注释

我们正在使用定义来计算两列之间协方差的直接定义。但是，已经证明，如果提供某些类型的数据，使用直线定义可能会导致数值不稳定。请参考this Wikipedia page，该算法通过各种算法计算两个n长度向量之间的协方差，这些向量更稳定。

Answer 2

这是合法的方法吗？