Question

在尝试设计算法时，我偶然发现了这个问题。这不是家庭作业。

设P_i =第一个i素数的数组。现在我需要最小的i，以便

Sum<n=0..i> 1 / (P_i[n]*P_i[n])  >=  1.

（如果存在i）。

i＆＃39;素数的近似值为i*log(i)。所以我在Java中试过这个：

public static viod main(String args[]) {
    double sum = 0.0;
    long i = 2;

    while(sum<1.0) {
        sum += 1.0 / (i*Math.log(i)*i*Math.log(i));
        i++;
    }

    System.out.println(i+": "+sum);
}

然而，上述情况并未完成，因为它收敛到0.7。但是，在Java中1/100000000^2轮到0.0，这就是为什么它不起作用的原因。出于同样的原因，如果用

替换第6行，它甚至不起作用

sum += 1.0 / (i*i)

如果我没有弄错，那么应该达到1，因为总和应该比1/2^i更快，而后者会收敛到1。换句话说，这表明Java舍入导致总和不能达到1。我认为我的问题的最小i应该存在。

Answer 1

在这个问题的数学方面，而不是java方面：

如果我理解了这个问题，就没有解决办法（没有i的价值）。

对于素数{p_1，p_2，... p_i}的任何有限集P_i，让N_i为直到p_i，{1,2,3，...，p_i}的所有整数的集合。和1 / p ^ 2（对于P_i中的所有p_n）将小于N_i中x的所有1 / x ^ 2的总和。

1 / x ^ 2 tends to ~1.65之和但由于1永远不会出现在素数集中，因此总和受限于~0.65

Answer 2

你不能使用double，因为它不统一。你应该使用分数。我找到了这个班级https://github.com/kiprobinson/BigFraction

然后我试着找到发生的事情：

  public static void main(String args[]) {
        BigFraction fraction = BigFraction.valueOf(1, 4);
        int n = 10000000, status = 1, num = 3;
        double limit = 0.4;

        for (int count = 2; count <= n;) {
            for (int j = 2; j <= Math.sqrt(num); j++) {
                if (num % j == 0) {
                    status = 0;
                    break;
                }
            }
            if (status != 0) {
                fraction = fraction.add(BigFraction.valueOf(1,BigInteger.valueOf(num).multiply(BigInteger.valueOf(num))));

                if (fraction.doubleValue() >= limit){
                    System.out.println("reached " + limit + " with " + count + " firsts prime numbers");
                    limit += 0.01;
                }

                count++;
            }
            status = 1;
            num++;
        }
    }

这是输出：

reached 0.4 with 3 firsts prime numbers
reached 0.41000000000000003 with 4 firsts prime numbers
reached 0.42000000000000004 with 5 firsts prime numbers
reached 0.43000000000000005 with 6 firsts prime numbers
reached 0.44000000000000006 with 8 firsts prime numbers
reached 0.45000000000000007 with 22 firsts prime numbers

而且不过一分钟。我调试它，发现它变得非常慢和慢，我不认为，即使在无穷大它也可以达到1 :)（但不知道如何证明它）。

Answer 3

我猜你使用默认Math.log乘以float i时可能会失去所需的精度。我认为这可以通过使用适当的RoundingMode来处理。请参阅setRoundingMode

sum（1 / prime [i] ^ 2）＆gt; = 1？

3 个答案: