给出y，得到贝塞尔曲线的x

Question

我有一条贝塞尔曲线：(0,0)，(.25,.1)，(.25,1)和(1,1)。

这在图形上可以看到：http://cubic-bezier.com/#.25,.1,.25,1

我们在x轴上看到的是时间。

这是我未知的。这是一个单元格。所以我想知道当y为0.5时我怎么能得到x？

由于

我看到了这个主题：y coordinate for a given x cubic bezier

但它循环，我需要避免一些循环 所以我找到了这个主题：Cubic bezier curves - get Y for given X

但我无法弄清楚如何在js中求解三次多项式：（

Answer 1

这在数学上是不可能的，除非您可以保证每y个值只有一个x值，即使在单位矩形上也不能（例如，{0,0} ，{1,0.6}，{0,0.4}，{1,1}在中间点会相当有趣！）。最快的是简单地构建一个LUT，例如：

var LUT_x = [], LUT_y = [], t, a, b, c, d;
for(let i=0; i<100; i++) {
  t = i/100;
  a = (1-t)*(1-t)*(1-t);
  b = (1-t)*(1-t)*t;
  c = (1-t)*t*t;
  d = t*t*t;
  LUT_x.push( a*x1 + 3*b*x2 + 3*c*x3 + d*x4 );
  LUT_y.push( a*y1 + 3*b*y2 + 3*c*y3 + d*y4 );
}

完成，现在如果您想查找某个x值的y值，只需运行LUT_y，直到找到y值，或者更真实直到您在索引i和i+1找到两个值，使得y值位于它们之间的某个位置，并且您将立即知道相应的x值，因为它会与LUT_x中的索引相同。

对于具有2个索引i和i+1的非匹配匹配，您只需执行线性插值（即y距离... i和{{1}之间} {和i+1坐标i和i+1之间的距离相同

Answer 2

使用查找表的所有解决方案只能为您提供近似结果。如果这对你来说足够好，你就定了。如果您想要更准确的结果，那么您需要使用某种数值方法。

对于N度的一般Bezier曲线，您需要循环。意思是，您需要使用双截面方法或Newton Raphson方法或类似的方法来查找对应于给定y值的x值，并且此类方法（几乎）总是涉及从初始猜测开始的迭代。如果有多个解决方案，那么你获得的x值将取决于你的初始猜测。

但是，如果您只关心三次贝塞尔曲线，则可以使用卡尔达诺公式找到三次多项式的根，因此可以使用解析解。在OP中引用的这个链接（y coordinate for a given x cubic bezier）中，Dave Bakker的答案显示了如何使用Cardano公式求解三次多项式。提供Javascript中的源代码。我认为这将是您开始调查的良好来源。

Answer 3

再次感谢Mike的帮助，我们找到了最快的方法。我把这个函数加起来，平均需要0.28msg：

function getValOnCubicBezier_givenXorY(options) {
  /*
  options = {
   cubicBezier: {xs:[x1, x2, x3, x4], ys:[y1, y2, y3, y4]};
   x: NUMBER //this is the known x, if provide this must not provide y, a number for x will be returned
   y: NUMBER //this is the known y, if provide this must not provide x, a number for y will be returned
  }
  */
  if ('x' in options && 'y' in options) {
    throw new Error('cannot provide known x and known y');
  }
  if (!('x' in options) && !('y' in options)) {
    throw new Error('must provide EITHER a known x OR a known y');
  }

  var x1 = options.cubicBezier.xs[0];
  var x2 = options.cubicBezier.xs[1];
  var x3 = options.cubicBezier.xs[2];
  var x4 = options.cubicBezier.xs[3];

  var y1 = options.cubicBezier.ys[0];
  var y2 = options.cubicBezier.ys[1];
  var y3 = options.cubicBezier.ys[2];
  var y4 = options.cubicBezier.ys[3];

  var LUT = {
    x: [],
    y: []
  }

  for(var i=0; i<100; i++) {
    var t = i/100;
    LUT.x.push( (1-t)*(1-t)*(1-t)*x1 + 3*(1-t)*(1-t)*t*x2 + 3*(1-t)*t*t*x3 + t*t*t*x4 );
    LUT.y.push( (1-t)*(1-t)*(1-t)*y1 + 3*(1-t)*(1-t)*t*y2 + 3*(1-t)*t*t*y3 + t*t*t*y4 );
  }

  if ('x' in options) {
    var knw = 'x'; //known
    var unk = 'y'; //unknown
  } else {
    var knw = 'y'; //known
    var unk = 'x'; //unknown
  }

  for (var i=1; i<100; i++) {
    if (options[knw] >= LUT[knw][i] && options[knw] <= LUT[knw][i+1]) {
      var linearInterpolationValue = options[knw] - LUT[knw][i];
      return LUT[unk][i] + linearInterpolationValue;
    }
  }

}

var ease = { //cubic-bezier(0.25, 0.1, 0.25, 1.0)
  xs: [0, .25, .25, 1],
  ys: [0, .1, 1, 1]
};

var linear = {
  xs: [0, 0, 1, 1],
  ys: [0, 0, 1, 1]
};

//console.time('calc');
var x = getValOnCubicBezier_givenXorY({y:.5, cubicBezier:linear});
//console.timeEnd('calc');
//console.log('x:', x);