Question

我们说我有一个稀疏矩阵A.我想对它做大量计算。计算不修改A，只访问其元素，例如取一排A然后乘以某物。我想知道在进行任何计算之前是否应该将A转换为完整矩阵，或者只是直接进行？换句话说，访问稀疏矩阵中的元素比完整矩阵慢吗？

Answer 1

跨列切片稀疏矩阵比在MATLAB中切片行快得多。因此，您应该更喜欢通过M(:,i)访问M(i,:)。

内部MATLAB使用Compressed Sparse Column（CSC）存储：

非零元素存储在长度nzmax的1-D双数组中，排列在column-major order（pr表示实部，pi表示虚部矩阵很复杂）
ir具有相应行索引的整数数组
jc一个长度为n+1的整数数组（其中n是列数），其中包含列索引信息。根据定义，jc的最后一个值包含nnz（存储的非零数）。

例如，采用以下稀疏矩阵：

>> M = sparse([1 3 5 3 4 1 5], [1 1 1 2 2 4 4], [1 7 5 3 4 2 6], 5, 4);

这就像存储在内存中一样（我在ir和jc使用基于0的索引）：

1 . . 2
. . . .
7 3 . .
. 4 . .
5 . . 6

pr = 1 7 5 3 4 2 6
ir = 0 2 4 2 3 0 4
jc = 0 3 5 5 7

nzmax = at least 7
nnz = 7
m = 5
n = 4

要检索稀疏矩阵M(:,i)的第i列，只需执行：pr(jc(i):jc(i+1)-1)（为了简单起见，我不注意0-对比1-基于索引）。另一方面，访问矩阵行涉及更多的计算和数组遍历（它不再是spatial-locality友好的。）

以下是MATLAB文档的一些链接，以获取更多信息：Sparse Matrices，Manipulating Sparse Matrices

值得查看 John R. Gilbert，Cleve Moler和Robert Schreiber的original paper：＆＃34; Matlab中的稀疏矩阵：设计与实现＆＃34;，（ SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications，13：1,333-356（1992））。

以上是上述文章的一些引用，以回答有关稀疏存储开销的问题：

简单数组操作的计算复杂性应该是   与nnz成比例，也可能在m或n上线性相关，   但要独立于产品m*n。复杂性更多   复杂的操作涉及订购和填写等因素，   但是一个好的稀疏矩阵算法的目标应该是：


稀疏矩阵运算所需的时间应该是成比例的     对非零数量的算术运算次数。


我们称之为＆＃34;时间与翻牌成正比＃34;规则;它是一个   我们设计的基本原则。

和

这个（面向列的稀疏矩阵）方案效率不高   用于一次操作元素上的矩阵：访问单个   元素花费的时间至少与对数成正比   柱长;插入或删除非零可能需要   广泛的数据运动。但是，逐个元素操作是   在MATLAB中很少见（即使在完整的MATLAB中也很昂贵）。最常见的   应用程序将创建一个稀疏矩阵，但这更多   通过在其中构建列表[i,j,s]矩阵元素来有效地完成   任意顺序，然后使用sparse(i,j,s)创建矩阵。

允许稀疏数据结构在之后具有未使用的元素   矩阵的最后一列的结尾。因此构建的算法   一次一个矩阵可以有效地实现   在开始时为所有预期的非零值分配足够的空间。

第3.1.4节＆＃34;渐近复杂度分析＆＃34;应该是有意义的（这里引用的时间太长了。）

访问稀疏矩阵中的元素是否有开销

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