与终点处的圆弧相切的圆弧和直线

Question

我有：

弧：由p1x，p1y - p2x，p2y，radius，center，initial - final ang定义。

线：由ax，ay-bx，by。定义。

正如你在图像中看到的那样，我想要找出一个与圆弧和直线相切并且经过第一个圆弧终点的圆弧。

我认为有一个独特的解决方案。 （或者两个，R +和R - ）

我试着看看如何实现算法，没有结果...

任何想法都会受到赞赏......

Answer 1

您要做的是找到一条与无限线“L”相切的圆，并与圆上特定点的圆相切。关键的观察是，由于tangent vector to any circle at a given angle is perpendicular to the radius vector for that angle，我们需要找到的是点“TC”（“切线中心”）和距离“d”，在该距离处，从给定线偏移距离d的线相交从圆圈向外拉出相同距离的法线（原谅我的坏艺术）：

解决“d”的最简单方法如下：

1. 通过P-C和归一化在点“P”构造归一化法向量“R”。 （这构造了圆的外切线。如果你想要一个内切线，你可以翻转。）

2. 将标准化的垂直向量“N”构造成“L”行。我不确定你的变量“ax，ay - bx，by”是什么意思，所以让我们用起点“A =（ax，ay）”和方向矢量“DA =（dax，day）定义线条”。在这种情况下，法线为+/- (-day, dax)/sqrt(day*day+dax*dax)。 （与3d中的（0,0,1）向量的归一化交叉。）

3. 选择符号“N”，使其从P指向远，即如果（PA）和N的点积为正，则翻转N.如果点积是（接近）为零，那么切线圆将具有半径（接近）零，因此未定义。

4. 现在考虑对于某些d，由P2 = P + d *（R + N）定义的点TC。如果P2位于线L上，则d是我们寻找的切线圆的半径！当且仅当（P2-A）和N的点积为零时，P2才位于该线上。这在一个变量中定义了一个线性方程 - d - 所以你可以解决它。注意，如果R + N（几乎）长度为零，则P与圆和线之间的最近点相差180度;您需要明确检查并处理它。

5. 一旦你有了d，你可以得到圆圈的中心TC = P + d * R.

当P处圆的切线与线平行或几乎平行时，此方法应具有良好的数值稳定性。

您没有指定语言，但希望这可以帮助您入门。我的主要语言是c＃。