Question

如果此序列中任意两个连续数字之间的差值为-1或1且其第一个元素为0，则整数序列为单序列。

更准确地说：a1，a2，...，a是一个单序列，如果：

For any k (1 ≤  k < n): |a[k] - a[k+1]|=1, 
a[1]=0

给出n和s─一个中所有元素的总和。 W需要用给定的参数构造一个序列。

如果n = 8且s = 4，则其中一个序列为[0 1 2 1 0 -1 0 1]。

注意，对于给定的n和s，我们不能形成这样的序列，我们也需要告诉它不可能。否则我们需要告诉任何这样的序列。如何解决这个问题请帮忙。

Answer 1

首先，要确定是否可以解决，可以事先做好。由于你在每一步中都是+1或-1，你将从偶数，奇数，偶数到奇数......所以对于 n 的奇数值你只会是能够达到偶数，并且对于 n 的偶数值，您将只能达到奇数。可到达的范围也很简单：±（1 + 2 + 3 + ... + n）。

其次，如果您在每个步骤中绘制关于是向上（+1）还是向下（-1）的“决策树”，并在每个节点中绘制累计总和，您将看到您可以执行一种二进制搜索，用于在树中的一个叶子上找到总和。

如果您即将下冲，则转为+1，如果您即将超调则转为-1。棘手的部分是弄清楚你是否会出现下冲/过冲。你当前的“状态”应该由

计算

“我到目前为止所拥有的内容”+“我可以免费获得这个级别的剩余数据”。

您在“此级别”免费获得的内容为stepsLeft * previousValue。

这是一些伪代码。

solve(stepsLeft, prev, acc) {
    if stepsLeft == 0, return empty list  // base case
    ifIStayHere = acc + prev*stepsLeft
    step = ifIstayHere > s ? prev-1 : prev+1
    return [step] concatenated by solve(stepsLeft-1, step, acc+step)
}

请注意，此解决方案不包含初始值0，因此请使用stepsLeft = n-1调用它。

正如你所看到的，它是θ（n），它适用于我测试过的所有情况。（在Java中实现。）

Answer 2

这是对aioobe算法的另一种看法，正式证明了正确性。

给定序列a（k），定义差序列d（k）= a（k + 1） - a（k）并观察a（1）+ a（2）+ ... + a（ n）=（n-1）d（1）+（n-2）d（2）+ ... + 1d（n-1）。

参数n和s的

定理：，当且仅当（1）n（n-1）/ 2 mod 2 = s mod时，存在长度为n的单序列与s的求和2和（2）| s | ≤n（n-1）/ 2。

证明：通过感应n。基本情况，n = 1，是微不足道的。归纳地，由于d（k）∈{±1}，我们观察到（1）和（2）都是必要条件，因为n-1 + n-2 + ... + 1 = n（n-1）/ 2和-1 mod 2 = 1 mod 2.相反，假设（1）和（2）。如果s≥0，则构造一个长度 - （n-1）序列，总和为s - （n-1）。如果s＆lt;然后，构建长度 - （n-1）序列，总和为s +（n-1）。（1）和（2）都满足这些结构（省略了一些繁琐的案例分析），因此从归纳假设得出它们成功。根据s≥0/ s <1，将该序列的元素增加/减少1。 0并在开头放0。

由于定理的证明是建设性的，我们可以用Python实现它。

def oneseq(n, s):
    assert isinstance(n, int)
    assert isinstance(s, int)
    nchoose2 = n*(n-1)//2
    abss = abs(s)
    if n < 1 or abss%2 != nchoose2%2 or abss > nchoose2: return None
    a = [0]
    for k in range(n-1, 0, -1):  # n-1, n-2, ..., 1
        d = 1 if s >= 0 else -1
        a.append(a[-1] + d)  # a[-1] equivalent to a[len(a) - 1]
        s -= k*d
    return a

如果可能的话，制作一个序列

2 个答案: