Question

这是一份工作申请的问题： “一位父亲有两个儿子和999幅画作。每幅画都有不同的价值：第一幅值1，第二幅值2，依此类推，直到最终的画作价值999.他想将他的所有画作分成两部分。儿子们，每个儿子都有同等的价值。有999幅画有多少种方式可以做到这一点？例如：如果父亲有7幅画作，他可以通过给第一个儿子画作1,6和7来公平地划分它们。第二个儿子将获得2,3,4和5.两者的总和相等，14。有7幅画，父亲可以用4种方式对它们进行相当划分（其他3种不在此列出），所以解决方案是4。提示：数字可能很大，请将最后10位数字和解决方案草图发送给我们。“

我所做的是尝试使用暴力方法，通过编写一个c＃程序将所有可能的组合加起来，该程序在循环内编写自己的c＃程序，如下所示：

StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (short i = 2; i <= 999; i++) //starts from 2 because 1 is always added to the total for one side
{
    sb.AppendLine("for (byte i" + i.ToString() + " = 0; i" + i.ToString() + " < 2; i" + i.ToString() + "++)");
    sb.AppendLine("{");
}

for (int i = 2; i <= 999; i++)
{
    sb.Append("if (i" + i.ToString() + " == 1) { total += " + i.ToString() + "; }\n");
}

for (short i = 2; i <= 999; i++)
{
    sb.AppendLine("}");
}

然后在结果中的if块之后添加：

if (total == 249750)
{
    count++; //count is a BigInteger
}
total = 1;

这种方法在技术上应该起作用（在较少数量的绘画上进行测试），但问题是它是一个HUUUGE数字，用这种方式在我的计算机上计算结果需要一百万年左右......在合理的时间内是否有一些数学技巧可以做到这一点？

Answer 1

更容易理解确定第一个儿子可以获得多少种值k的方式，其中k是一个参数。找出适当的概括是一门艺术;它在名为动态编程的算法课程中讲授。

让x成为变量。所需的数学见解是，对于n绘画，多项式乘积中x^k的系数

x (1 + x^2) (1 + x^3) ... (1 + x^n)

x中的

是第一个儿子获得价值k的方式的数量（包括值1的绘画）。这是因为该产品分发到

(sum for i_2 = 0 to 1) (sum for i_3 = 0 to 1) ... (sum for i_n = 0 to 1)
    x^(1 + 2 i_2 + 3 i_3 + ... + n i_n),

这实际上是您的强力解决方案评估此产品的方式。这里的动态程序相当于逐个分配因子，而不是一次分配所有因子，例如，

x (1 + x^2) = x + x^3
x (1 + x^2) (1 + x^3) = (x + x^3) (1 + x^3)
                      = x + x^3 + x^4 + x^6.
x (1 + x^2) (1 + x^3) (1 + x^4) = (x + x^3 + x^4 + x^6) (1 + x^3)
                                = x + x^3 + x^4 + x^6 + x^4 + x^6 + x^7 + x^9
                                = x + x^3 + 2 x^4 + 2 x^6 + x^7 + x^9.

节省时间来自重复条款。我们已经只有六个任期而不是八个（两个到三个权力）。

仅保留最后十位数意味着我们可以在模数为10^10的整数环中评估此产品。因此，我们可以减少以该数为模的中间系数，以避免求助于bignums。这个技巧是竞争性编程社区所熟知的，在抽象代数或数论的课程中正式涵盖。

在Mathematica中：

In[1]:= Coefficient[x Product[1+x^i,{i,2,7}],x^(Sum[i,{i,1,7}]/2)]

Out[1]= 4

In[2]:= Coefficient[x Product[1+x^i,{i,2,8}],x^(Sum[i,{i,1,8}]/2)]

Out[2]= 7

在Java中：

public class PartitionPaintings {
    public static void main(String[] args) {
        long[] p = new long[] {0, 1};
        for (int i = 2; i <= Integer.parseInt(args[0]); i++) {
            long[] q = new long[p.length + i];
            for (int k = 0; k <= p.length - 1; k++) {
                for (int j = 0; j <= 1; j++) {
                    q[k + i * j] = (q[k + i * j] + p[k]) % 10000000000L;
                }
            }
            p = q;
        }
        System.out.println(p[(p.length - 1) / 2]);
    }
}

Answer 2

这是一项数学工作。

您基本上在寻找一个number partition，一个distinct parts。

所有绘画的总价值是整数1 ... 999的总和。 (n * (n+1)) / 2 according to Gauss，我们得到：(999 * 1000) / 2 = 499500。因此，每个儿子都应该获得总价值为249750的绘画作品。

现在，我们只需要找到该值的数字分区，其中不同的部分不超过999.我们将每个分区分配为一个儿子的绘画集，第二个儿子将获得剩余的绘画（具有相同的总价值。）

因此，唯一棘手的部分是找出不同和有界部分的分区函数。但我想你也可以通过编程方式做到这一点。

来自德黑兰谢里夫科技大学的Mohammadreza Bidar实际上写了一篇文章，其中有一个很有希望的标题“将整数划分为独特的有界部分，身份和边界”。您可以在INTEGERS, volume 12中阅读（这是第8篇文章）。

父亲，两个儿子，999幅画

2 个答案: