从循环索引k获得对i，j，其中i <1。 J＆prime;

Question

对于某些正整数i,j，我需要使用0 <= i < n，0 <= j < n和i < j遍历所有对n。

问题是我只能循环遍历另一个变量，比如k。我可以控制k的界限。所以问题是要确定两个算术方法f(k)和g(k)，以便i=f(k)和j=g(k)遍历所有可接受的对，因为k遍历其连续值。< / p>

我怎样才能以简单的方式做到这一点？

Answer 1

我想我得到了它（在Python中）：

def get_ij(n, k):
  j = k // (n - 1)  # // is integer (truncating) division
  i = k - j * (n - 1)
  if i >= j:
    i = (n - 2) - i
    j = (n - 1) - j
  return i, j

for n in range(2, 6):
  print n, sorted(get_ij(n, k) for k in range(n * (n - 1) / 2))

它基本上折叠矩阵，使其（几乎）呈矩形。几乎＆＃34;几乎＆＃34;我的意思是在最底行的最右边可能有一些未使用的条目。

以下图片说明折叠如何适用于n = 4：

和n = 5：

现在，迭代矩形很容易，就像从折叠坐标映射回原始三角矩阵中的坐标一样。

优点：使用简单的整数数学。

缺点：以奇怪的顺序返回元组。

Answer 2

我认为我发现了另一种方式，它以字典顺序给出对。请注意，i > j代替i < j。

基本上算法由两个表达式组成：

i = floor((1 + sqrt(1 + 8*k))/2)
j = k - i*(i - 1)/2

将i,j作为k的函数。这里k是一个从零开始的索引。

优点：以字典顺序给出对。

缺点：依赖于浮点运算。

<强>理由：

我们希望在下表中实现映射：

k -> (i,j)
0 -> (1,0)
1 -> (2,0)
2 -> (2,1)
3 -> (3,0)
4 -> (3,1)
5 -> (3,2)
....

我们首先考虑逆映射(i,j) -> k。要意识到这一点并不难：

k = i*(i-1)/2 + j

自j < i以来，k对应于具有固定(i,j)的所有对i的值满足：

i*(i-1)/2 <= k < i*(i+1)/2

因此，给定k，i=f(k)会返回i这样的最大整数i*(i-1)/2 <= k。经过一些代数：

i = f(k) = floor((1 + sqrt(1 + 8*k))/2)

我们找到值i后，j可以通过

轻易给出

j = k - i*(i-1)/2

Answer 3

我不确定完全理解这个问题，但总结一下，如果0＆lt; = i＆lt; n，0＆lt; = j＆lt; n，那么你想要遍历0＆lt; = k＆lt; N * N

for (int k = 0; k < n*n; k++) {
    int i = k / n;
    int j = k % n;
    // ...
}

[编辑]我刚看到我＆lt; j;所以，这个解决方案不是最优的，因为n * n必要的迭代次数就少了......

Answer 4

如果我们根据数字三角形来考虑我们的解决方案，其中k是序列

1 
2  3 
4  5  6 
7  8  9  10
11 12 13 14 15
...   

然后j将是我们的（非零基础）行号，即最大整数，

j * (j - 1) / 2 < k

j的

Solving：

j = ceiling ((sqrt (1 + 8 * k) - 1) / 2)

i行中k＆＃39; s（从零开始）的位置

i = k - j * (j - 1) / 2 - 1

k的界限是：

1 <= k <= n * (n - 1) / 2 

Answer 5

您实际上有两个算术函数f（k）和g（k）这样做很重要吗？因为您可以先创建一个列表，例如

L = []
for i in range(n-1):
    for j in range(n):
        if j>i:
            L.append((i,j))

这将为您提供所有您需要的对。您的变量k现在可以沿着列表的索引运行。例如，如果我们取n = 5，

for x in L:
    print(x)

给我们

(0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

例如，假设您有2 <= k <5，则

for k in range(2, 5)
    print L[k]

收益

(0,3), (0,4), (1,2)