Question

假设曲线y = x^2上有100000个点。你想找到这些点的凸包。所有坐标都是浮点数。

在我的全景扫描实现中，我操作浮点数的唯一地方是我最初按坐标对所有点进行排序，然后我有一个函数来确定三个点是左转还是右转。

点数：

struct point {
   double x; 
   double y;
};

排序比较器：

inline bool operator() (const point &p1, const point &p2) {
    return (p1.x < p2.x) || (p1.x == p2.x && p1.y > p2.y);
}

左/右转：

inline int ccw(point *p1, point *p2, point *p3) {
  double left  = (p1->x - p3->x)*(p2->y - p3->y);
  double right = (p1->y - p3->y)*(p2->x - p3->x);
  double res = left - right;
  return res > 0;
}

我的程序说，在10万个点中，只有68894是凸包的一部分。但由于它们在曲线上，所有它们都应该是凸包的一部分。

对于你的眼睛它没有任何区别。见下图。红点是凸包的一部分。

image http://oi57.tinypic.com/t8lsvs.jpg

但如果你看得足够近，并放大点，你会看到其中一些是蓝色的，所以它们不包括在凸包中。

image http://oi61.tinypic.com/2eol37a.jpg

现在我最初的假设是浮点错误导致了这个问题。

我想我可以使用一个对浮点数有任意精度的外部库，但我对我们在C ++中有的简单数据类型更感兴趣。

我怎样才能提高准确度？我读过关于epsilons的内容，但是如何在这里使用epsilon？我仍然会假设一些彼此接近的点是相同的，所以我不会得到接近100％的准确度。

解决此问题的最佳方法是什么？

Answer 1

通常使用浮点数学，你需要引入＆＃34;容差的概念，＆＃34;有时表示为epsilon。在您的情况下，您可以将ccw()函数设为三值：true / false / indeterminate。然后，当你试图发现一个新点是否可以成为凸包的一部分时，你会问＆＃34;它是ccw = true还是不确定＆＃34;，并且无论哪种方式你都接受这一点。当斜率太接近直线而无法确定时，会发生不确定的结果。

Answer 2

如果您确实使用(x, x^2)形式的点，那么所有点都应该在凸包上是正确的。但是，三个点可以是共线的。如果你转移它们或做任何其他奇怪的事情，这就会消失。

如果您选择100000点，我建议使用[-50000,49999]中的整数。您的ccw函数会将left和right计算为绝对值小于2.5e14 <1的整数。 2 ^ 53，所以不会发生任何结果。

无论输入如何，基于坐标的排序都将正常工作。

对于常规输入，以下ccw谓词是错误的：

inline int ccw(point *p1, point *p2, point *p3) {
  double left  = (p1->x - p3->x)*(p2->y - p3->y);
  double right = (p1->y - p3->y)*(p2->x - p3->x);
  double res = left - right;
  return res > 0;
}

在减法和乘法中都可以进行舍入。如果所有点都位于H * W边界框中，则将使用围绕H * eps / 2的绝对误差计算x坐标差异，并且将使用W * eps /周围的绝对误差计算y坐标差异。 2。因此，将以H * W * eps / 2附近的绝对误差计算乘积。如果fabs(left - right) < 3*H*W*eps/2，您需要更准确地评估left和right。 eps这里是2 ^-52。

如果double比较没有告诉你任何事情，我可能建议你只使用MPFR。但是，你可以不用它。来自Kahan求和的技巧将从差异中得到低位，而2 ²⁷ +1技巧可以帮助您准确计算产品。

当浮动精度问题时，你怎么能实际解决凸包？

2 个答案: