Question

在s类型的同构中，为什么/不应该约束t与b同构，a与Iso s t a b同构？

我知道我们有一个转发映射s -> a和一个向后映射b -> t，但为什么这些映射没有强加关系

 type Iso s t a b = forall p f. (Profunctor p, Functor f) => p a (f b) -> p s (f t)

Answer 1

您希望同构的不是s到t或a到b，而是s到a和t到b。考虑一下这个例子：

Prelude Control.Lens> (True, ()) & swapped . _1 %~ show
(True,"()")

在这里，我们正在使用Iso swapped撰写Lens _1;在此用法中，它们的组成等同于Lens _2，因此show将应用于元组(True, ())的第二个元素。请注意show是类型更改。那么我们在这里使用Iso swapped的类型是什么类型的？

s是我们原始元组的类型(Bool, ())
t是最终结果的类型(Bool, String)
a是交换后s的类型，((), Bool)
b是t的类型，(String, Bool)

换句话说，我们在

类型中使用swapped

swapped :: Iso (Bool, ()) (Bool, String) ((), Bool) (String, Bool)

每个映射s -> a和b -> t都是双射，但其他类型之间没有必要的关系。

至于为什么似乎没有Iso所列出的法律规定这些法律必须是双性恋，我不知道。

编辑：部分＆＃34;为什么它是镜头系列＆＃34;在@bennofs在上面的评论中发布的链接确实为我澄清了一些事情。显然，爱德华·凯梅特不希望这些类型完全自由地变化。

虽然在光学类型中无法直接表达而不会使其难以使用，目的是改变类型的光学系列（Lens，Iso或其他）应具有类型系列inner和outer给出的类型。如果Iso的其中一种类型是

anIso :: Iso s t a b

然后应该有两种索引类型i和j，以便

s = outer i t = outer j a = inner i b = inner j

此外，您可以交换i和j，虽然没有自动执行此操作，但结果仍然是您的多态的合法类型Iso。即您还应该被允许使用
类型的anIso
anIso :: Iso t s b a

显然这适用于swapped。这两种都是合法的类型：

swapped :: Iso (Bool, ()) (Bool, String) ((), Bool) (String, Bool) swapped :: Iso (Bool, String) (Bool, ()) (String, Bool) ((), Bool)

换句话说，如果多态Iso系列的类型发生了变化，那么还需要支持反向类型更改。（也是组合类型的变化。我从类别理论中嗅到了一种自然的转变，我怀疑这也是Kmett对此的一种看法。）

另请注意，如果您将多态Iso构造为

f :: s -> a g :: b -> t iso f g :: Iso s t a b

然后，为了使此具有iso f g :: Iso t s a b类型，我们需要f和g才能拥有类型

f :: t -> b g :: a -> s

请注意，在其第一个类型f中使用的s -> a具有与其第二个类型g中使用的a -> s相反的正确类型，并且相应地以相反的方式

对于一个具体的例子，swapped在这里有点不好，因为用于元组的f和g是相同的，基本上它们都是\(x,y) -> (y,x)，这是它自己的逆。我在Simple中看到的最好的其他非Control.Lens.Iso示例是curried，这似乎有点过于复杂而无法澄清。

同构中前向和后向映射之间的关系（镜头包）

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