Question

我有两个GMM用于在同一个空间中拟合两组不同的数据，我想计算它们之间的KL分歧。

目前我正在使用sklearn（http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.mixture.GMM.html）中定义的GMM和KL-divergence（http://docs.scipy.org/doc/scipy-dev/reference/generated/scipy.stats.entropy.html）的SciPy实现

我该怎么做呢？我是否只想创建大量的随机点，在两个模型中的每个模型（称为P和Q）上获取它们的概率，然后将这些概率用作我的输入？或者在SciPy / SKLearn环境中有更多规范的方法吗？

Answer 1

GMM之间的KL差异没有封闭形式。不过，你可以很容易地做蒙特卡洛。回想一下KL(p||q) = \int p(x) log(p(x) / q(x)) dx = E_p[ log(p(x) / q(x))。所以：

def gmm_kl(gmm_p, gmm_q, n_samples=10**5):
    X = gmm_p.sample(n_samples)
    log_p_X, _ = gmm_p.score_samples(X)
    log_q_X, _ = gmm_q.score_samples(X)
    return log_p_X.mean() - log_q_X.mean()

（mean(log(p(x) / q(x))) = mean(log(p(x)) - log(q(x))) = mean(log(p(x))) - mean(log(q(x)))在计算上稍微便宜一点。）

您不想使用scipy.stats.entropy;这是离散分布的。

如果您想要对称且平滑Jensen-Shannon divergence KL(p||(p+q)/2) + KL(q||(p+q)/2)，那么它非常相似：

def gmm_js(gmm_p, gmm_q, n_samples=10**5):
    X = gmm_p.sample(n_samples)
    log_p_X, _ = gmm_p.score_samples(X)
    log_q_X, _ = gmm_q.score_samples(X)
    log_mix_X = np.logaddexp(log_p_X, log_q_X)

    Y = gmm_q.sample(n_samples)
    log_p_Y, _ = gmm_p.score_samples(Y)
    log_q_Y, _ = gmm_q.score_samples(Y)
    log_mix_Y = np.logaddexp(log_p_Y, log_q_Y)

    return (log_p_X.mean() - (log_mix_X.mean() - np.log(2))
            + log_q_Y.mean() - (log_mix_Y.mean() - np.log(2))) / 2

（log_mix_X / log_mix_Y实际上是混合密度的两倍的记录;从平均操作中拉出来可以节省一些翻牌。）

KL-两个GMM的分歧

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