平衡的括号

Question

我想知道是否有人可以回答我，这是针对下一个问题在回溯解决方案中生成的结果数量：

给定n对括号，编写一个函数来生成格式正确的括号的所有组合。

例如，给定n = 3，解集是：

“（（（）））”，“（（）（））”，“（（））（）”，“（）（（））”，“（）（）（）”

stackoverflow中有一个相关的帖子：Generate balanced parentheses in java

我怀疑，如果有一个公式可以给我一些有效的括号，我可以在计算之前生成。 例如：
- f（n）：
- f（1）= 1
- f（2）= 2
- f（3）= 5
等等。

谢谢。

Answer 1

可以通过加泰罗尼亚数字计算包含正确匹配的n对括号的数字表达式。引用维基百科的相关link：

  

组合系统中存在许多计数问题，其解决方案由加泰罗尼亚数字给出...... Cn是长度为2n的Dyck字数。 Dyck字是由n个X和n Y组成的字符串，这样字符串的初始段没有比X更多的Y ...将符号X重新解释为左括号，Y作为右括号，Cn计算表达式的数量包含正确匹配的n对括号。

第n个加泰罗尼亚数字直接根据二项式系数给出：