平滑三次贝塞尔曲线的条件

Question

我有这些点的起点和终点以及曲线斜率的值。 现在我必须绘制一个平滑的2D贝塞尔曲线＆＃34;通过两个给定点。 现在如何定位两个控制点来实现这一目标。有什么办法吗？我知道控制点必须位于相应起点和终点的切线上。

• 注意：通过＆＃34;平滑曲线＆＃34;，我的意思是最终图中不应有陡峭的曲线或转弯。

Answer 1

听起来你有catmull-rom曲线坐标（两个点，它们的离开和到达切线），在这种情况下https://pomax.github.io/bezierinfo/#catmullconv涵盖了将这些转换为Bezier坐标所需的所有数学。如果您不关心“如何”，只需跳到本节末尾的直接转换规则。

tl; dr version ：将您的坐标重写为Catmull表格：

[P1, v1, v2, P2] -> [P1 - v1, P1, P2, P2 + v2]

然后我们将其转换为贝塞尔坐标：

P1 <= P1
p2 <= P1 - (P2 - P1 - v1) / 6 * f
p3 <= P2 + (P2 + v2 - P1) / 6 * f
p4 <= P2

f是张力常数。玩弄它。它通常是1，但它可能不取决于这些切线的强度。

Answer 2

对于由P0，P1，P2和P3定义的三次贝塞尔曲线，其中P0和P3是起点和终点，它在t = 0和t = 1时的一阶导数向量

C'（t = 0）= 3 *（P1-P0）
C'（t = 1）= 3 *（P3-P2）

因此，如果您已经知道起点和终点处的斜率，则可以轻松地将其转换为切线向量并找到控制点P1和P2。您需要为一阶导数向量指定适当的幅度，以使最终得到的曲线没有拐点。但只要你确保由P0，P1，P2和P3形成的控制多边形是凸的，那么你的三次贝塞尔曲线应该是平滑的并且没有转弯。