不同组合的数量可能吗？

Question

您获得的位数为m，位数为n。你必须以这样一种方式填充这些位置，使每个数字至少出现一次。

例如

给定m为4，n为3，因此您有4个位置和3个数字。现在，对于这个可能的组合总数是36。

让我们举一个简单的例子：

m = 3且n = 2（a，b假设）则可能的组合是

aba aab abb bab bba baa

因此，仅6种组合是可能的。是否有任何公式，因为我需要找到可能的组合数量？

Answer 1

回答问题

答案是n!S(m,n)，其中S是Stirling numbers of the second kind。

例如，对于m=4, n=3，n!=6，S(4,3)=6，所以n!S(m,n)=36是预期答案。

为什么这个公式？

第二种S(m,n)的斯特林数字计算将一组m元素划分为n非空子集的方法的数量。因此，对于此问题，S(m,n)计算将m个地方划分为n组的方式的数量，每个组对应一个数字。在分区之后，我们应该为每个组指定一个数字，并且有n!个方法来执行此操作。因此，答案是n!S(m,n)。