枚举大（20位）[可能]素数

Question

给定A，大约10 ^ 20，我想快速获得一个大于A的前几个素数的列表。好吧，我的需求不是那么精确 - 如果偶尔复合的话也没关系号码最终列在清单上。

枚举大于A的（可能）素数的最快方法是什么？

是否有更快的方法，而不是单步执行大于A的所有整数（除了明显的倍数，例如2和3）并对每个整数执行素性测试？如果没有，并且唯一的方法是测试每个整数，我应该使用什么素性测试？

Answer 1

好问题。这仍然没有被证明是多项式时间（数字的多项式，这里是20） - 这是Finding Primes Polymath项目，其中有几位数学家（包括菲尔兹奖得主Terence Tao和Tim Gowers！）试图来使用算法，但项目似乎还没有任何具体结果。

无论如何，你可以做几件事。正如你和其他人所指出的那样，其中一个是尝试每个数字并检查它是否为素数，并进行快速素性测试，如Miller–Rabin。通过众所周知的数论理论启发式（基于prime number theorem），n附近的数字的“概率”约为1 / ln（n），因此对于10 ^ 20，大约每46个数字将是素数。因此，如果您想要k个20位数字，您将在大约5万个数字上运行Miller-Rabin测试。

第二种方法，我认为可能会更快，如果你为许多A（没有仔细考虑过）这样做，那就是使用筛子 ，就像Sieve of Eratosthenes一样。如果你想要k素数，那么制作一个大约有5万个数字（或者更安全）的数组，并筛选它们。您将从一个预先计算的素数列表开始，该列表少于某个数字。 （10 ¹⁰ 是完全正确的，但由于你愿意容忍一些复合数字，一个较小的素数列表会做，例如first 50 million primes测试，确保你的数字有没有低于982,451,653的主要因素，并且它们并不多。）

第三种方法是找到其他人对此问题的实现。 :-)例如，有一个网页给出了一个数字，finds the next prime number或finds the next ten prime numbers。如果您在线使用它，您似乎必须手动复制它们，但source code也可用。

Answer 2

  

有没有比踩踏更快的方法   通过所有整数更大   比A（除了明显的倍数   比方说，2和3）并执行   每个人的素性测试？

不，如果没有素性测试，就无法知道数字是否为素数。

但是，您可以非常快速地对任何数字执行Miller-Rabin等概率素性测试。这是一种安全且广为接受的寻找大质数的方法。由于素数相对丰富，使用此方法可以毫无困难地找到任何范围内的素数。只需使用经过测试和有效的Miller-Rabin实现，您就可以了。

Answer 3

关于你能做的最好的事情是生成一个合理的候选人，然后进行测试。 Miller-Rabin测试符合您提供数字素数高概率的要求，并且您可以根据您使用的迭代次数，将复合滑动的几率降低到或多或少。

Answer 4

Primes是安静的频繁数字。 素数的频率是log（n），这意味着平均每个第46个数是素数，其中n = 10 ^ 20。 这意味着检查每个数字的素数并不是这样的开销。