Question

所以我在haskell中写了一个简单的程序来近似使用haskell的一个变量函数的二阶导数

centerDifferenceSecondDerivative :: (Fractional a)=>(a->a)->a->a->a
centerDifferenceSecondDerivative f a h = ((f (a+h)) -2*(f a) + (f (a-h)))/(h^2)

我很确定这个问题是一个类型问题，因为我得到了下面的奇怪结果。

*Main> centerDifference (\x->(x)) 1 0.000001
    0.9999999999732445
    *Main> centerDifference (\x->(0)) 1 0.000001
    0.0
    *Main> centerDifference (\x->(4*x^2)) 1 0.000001
    8.000000000008
    *Main> centerDifference (\x->(4*x^2)) 3 0.000001
    24.00000000335467
    *Main> centerDifference (\x->(cos x)) 0 0.000001
    0.0
    *Main> centerDifference (\x->(sin x)) 0 0.000001
    0.9999999999998334
    *Main> centerDifference (\x->(sin x)) 0 0.00000000001
    1.0
    *Main> centerDifference (\x->(x^3)) 0 0.00000000001
    9.999999999999999e-23
    *Main> centerDifference (\x->(x^3)) 1 0.00000000001
    3.000000248221113
    *Main> centerDifference (\x->(x^3)) 2 0.00000000001
    12.000000992884452
    *Main> centerDifference (\x->(x^3)) 3 0.00000000001
    26.999913416148047
    *Main> centerDifference (\x->(x^3)) 4 0.00000000001
    48.00000397153781
    *Main> centerDifference (\x->(x^3)) 5 0.00000000001
    74.99991738768585
    *Main> centerDifference (\x->(x)) 5 0.00000000001
    1.000000082740371
    *Main> centerDifference (\x->(x)) 20 0.00000000001
    1.000088900582341
    *Main> centerDifference (\x->(x)) 100 0.00000000001
    1.000444171950221
    *Main> centerDifference (\x->(x)) 100 0.1
    0.9999999999999432

如果有人能给我一些关于这种类型的东西很有见解，那我只是总是使用小数数学，但似乎有问题。

Answer 1

您正在看到浮点运算的截断错误 - 与类型无关。

我假设您将centerDifference定义为 centerDifference f a h =（（f（a + h）） - （f（a-h）））/ 2h

使用有限差分公式精确计算导数实际上很棘手。极小的h值并不好，因为它们会引入较大的量化误差。 h的值太大，公式与限制值不够接近。你不能赢。通过h的最佳选择，结果通常精确到约2/3机器精度。

首先，你应该为h选择一个在其二进制浮点上有许多尾随0的值 - 尝试2 ^ -17。最佳值取决于a点处函数的行为。关于数值微分的一个很好的讨论可以在C第186页的数字食谱中找到：google it，你会发现这本书的pdf。它深入讨论了这一现象。

这里有一个解释为什么第一个结果中的错误比你预期的大（大约3 * 10 ^ -11，当你可能认为你会得到一个接近机器精度的误差~10 ^ -16 ）。

双浮点数可以表示0.5≤x≤1之间的2 ^ 52个数中的任何一个。 1.0。由于间隔长度为1/2，因此这些数字相差2 ^ -53。在1.0＆lt; = x＆lt;之间存在2 ^ 52个浮点数。 2.0。由于该间隔长度为1，因此这些数字相差2 ^ 52。粗略地说，计算1-h的结果比计算1 + h的结果更准确。因此（计算结果）1-h和1 + h在1左右不对称。减去（1 + h） - （1-h）产生误差~2 ^ -53。然后你将它除以2 * 10 ^ -6，将误差扩展到约5 * 10 ^ -11，这大约是结果中的误差。

在函数类型定义中使用小数来进行数学计算 - 获取错误

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