我对我正在考虑的算法分析课程中提出的一个猜想感到有点困惑。这是问题所在。
假设我们有一个哈希表，结构化为列表向量，通过顺序搜索桶来解决冲突。在不对所使用的哈希函数做任何假设的情况下，显示以下内容，其中n是表中项的数量，b是表实现中的桶（或槽）的数量。 e（k）表示大小为k的桶的预期数量，p（k）表示给定桶具有恰好k个项的概率。
我将上述描述解释为基本上描述了n个项目被插入到任何一个b桶中的情况。存储桶可以包含n到0个项目。它可以是空的，也可以包含所有n个项目。我们不能假设p（k）函数表示任何一个项目将被插入任何桶的概率。
我需要证明的猜想是......
显示e（k）= bp（k）
即，表明大小为k的预期桶数等于任何给定桶有k个项乘以b桶的概率。
我想通过说任何一个桶收到一个项目的概率只是p（1）= 1 / b来解决这个问题。但这不起作用，因为我必须假设p（k）函数将项目均匀地分配到桶中，这可能不一定。
我不确定如何用如此少的信息来解决这个问题。 非常感谢帮助。
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嗯......对我来说，你只需要说一个桶有k个元素的概率与任何其他桶有k个元素的概率无关。 因此
e(k) = probability of bucket 1 having k elements
+ probability of bucket 2 having k elements
+ ...
+ probability of bucket b having k elements
= b*p(k)
我不确定这是你在等什么。结果对我来说似乎很简单。对不起，如果它没有帮助。
答案 1 :(得分：0)
我认为这是一个使用期望线性的好地方。
让我们定义一些新的随机变量。对于任何桶i和容量k，如果桶i中有k个元素，则让X i，k 为1，否则为0。这意味着容量为k的桶的总数由
给出X 1，k + X 2，k + ... + X n，k
因此，e（k）由
给出e（k）= E [X 1，k + X 2，k + ... + X n，k ]
通过期望的线性，我们有
e（k）= E [X 1，k ] + E [X 2，k ] + ... + E [X n， ķ
现在，让我们看一下X i，k 变量中的任何一个。请注意，如果存储桶i具有正好k个元素，则X i，k 为1，否则为0。
因此：
E [X i，k ] = 0·Pr [bucket i没有k个元素] + 1·Pr [bucket i确实有k个元素]
= Pr [bucket我确实有k个元素]
嘿！我们知道那个概率是什么 - 它是p（k）。因此，E [X i，k ] = p（k），所以我们有
e（k）= E [X 1，k ] + E [X 2，k ] + ... + E [X n， ķ
= p（k）+ p（k）+ ... + p（k）
= np（k）
我们已经完成了！
希望这有帮助！