我最近看到了一个杆切割问题，其中B（i）=切割长度为i单位的杆的最佳价格，而p（i）=长度为i单位的杆的价格。
给出的算法是这样的： B（i）= max（1 <= k <= i）{p（k）+ B（i-k）}
不应该是这样的：
B（i）= max（1 <= k <= floor（i / 2））{B（k）+ B（i-k）}
其中B（1）= p（1）;
因此，对于一个零件的单个杆和第二个零件的最佳成本，这两个部件都是最优的成本而不是成本。
for example: B(4) = max{ (B(1) + B(3)); (B(2) + B(2)) }
instead of max{ (p(1) + B(3)); (p(2) + B(2)); (p(3) + B(1)) }
有人可以解释一下吗？
答案 0 :(得分：3)
实际上公式是正确的。你有B（i）= max（1＆lt; = k＆lt; = i）{p（k）+ B（i-k）}。我们假设您有一根长度为i的绳索。如果要剪切它，那么你将剪切一段k，其中k在1和i之间，并将继续切割绳索的剩余部分。总的来说，它花费你p（k）（削减你决定不再削减的初始部分的价格）和削减剩余B(i-k)的价格。这正是公式所做的。
您的解决方案也可以完成这项工作，但它有一点点缺点 - 每个子问题的解决方案取决于两个（而不是一个）更简单的子问题的解决方案。我相信因为它平均会表现更差。当然，有一个子问题取决于几个更简单的问题是不被禁止或错误的。
答案 1 :(得分：1)
让我们假设长杆i的最佳价格将通过将杆切割成长度为p的{{1}}部分来获得，l1, l2, .., lp和{ {1}}（为简单起见）。
在最佳解决方案中存在长度为i= l1+ l2 +..+ lp的杆件意味着如果长度为l1<l2<l3<…<lp的杆件进一步被分成更小的件，那么长度为{{{ 1}}会减少。因此，对于长度为l1的杆件，我们可以说l1。同样我们已经建立，l1是最优的.................. ..Condition 1
现在考虑长度为l1的杆的情况。声明b[l1] = p[l1]是最佳的。让我们假设情况并非如此。存在b[l2] = p[l2], b[l3]= p[l3], ….., b[lp]= p[lp]. => b(i) = b(l1) + b(l2) +..+ b(lp)使得l1+l2是最佳的。这意味着存在长度为b(l1+l2) = b(l1) + b(l2)和L的杆，以便：
b(l1+l2) = b(L) + b(l1+l2-L) L。(l1+l2-L)是最佳的b(L) + b(l1+l2-L)>b(l1)+b(l2).是最佳的，依此类推。现在我们有一个重复b(l1) + b(l2) + b(l3) +..+ b(lp) < b(L) + b(l1+l2-L) +b(l3) +…+ b(lp)。
b(l1+l2) = b(l1) + b(l2)。b(l2+l3+l4) = b(l2) + b(l3) + b(l4)
b(i) = b(k) + b(i-k) for 1<=k<i k=l1, b(i) = b(l1) + b(i-l1) = p[l1] + b(i-l1) k=l1+l2, b(i) = b(l1+l2) + b(i-l1-l2) = b(l1+l2) + b(l3 + l4 +…+lp) = [b(l1) + b(l2)] + b(l3 + l4 +…+lp) = b(l1) + [b(l2) + b(l3 + l4 +…+lp)] = b(l1) + b(l2+l3+l4+…+lp) = b(l1) + b(i-l1)。总而言之，如果我们想要找到长度为= p[l1] + b(i-l1)的杆的最佳解，我们会尝试将长度为k= l1+l2, b(i) = p[k’] + b(i-k’)的杆分成长度为k’=l1的两部分{ {1}}然后我们递归地找到两个杆件的最佳解，我们最终找到一个长度i的最佳杆件和长度为i的杆的最佳解。因此我们可以说：
(l1+l2)
答案 2 :(得分：1)
公式正确。我认为，当我们认为两个公式都可以替代另一个公式时，就会引起混淆。
尽管他们计数相同的现象，但是可以通过两种不同的方式完成：
让，B（i）=切割长度为i单位的棒的最佳价格， p（i）=长度为i单位的棒的价格。
公式1：B（i）= max（1 <= k <= floor（i / 2））{B（k）+ B（i-k）}和P（i）
公式2：B（i）= max（1 <= k <= i）{p（k）+ B（i-k）}）
考虑一根长度为4的杆 可以通过以下方式削减它：
1）长度为4的未切割
2）3，1
3）2、2
4）2、1、1
5）1、3
6）1、2、1
7）1、1、2
8）1，1，1，1
根据公式1：
选项1对应于P（4）
选项2,5,6,7,8对应于B（1）+ B（3）
选项3,4,6,7,8对应于B（2）+ B（2）
根据公式2：
选项1对应于P（4）
选项2对应于P（3）+ B（1）
选项3,4对应于P（2）+ B（2）
选项5,6,7,8对应于P（1）+ B（3）
因此，可以得出结论，1和2在计算最佳解决方案，但是以不同的方式，与1相比，2更紧凑，递归调用更少。