Question

http://www.spoj.com/problems/CTRICK/这是一个关于spoj的问题它说明了

魔术师将一小包卡片洗牌，将其面朝下放置并执行以下步骤：

顶部卡片移动到包装的底部。新的顶级卡面朝上放在桌子上。这是黑桃王牌。
从顶部到底部一次移动两张卡片。下一张牌面朝上放在桌子上。这是黑桃之二。
一次移动一张卡片......
这种情况一直持续到第n张和最后一张卡片成为黑桃的n。

如果魔术师知道如何预先安排牌（并知道如何进行虚假洗牌），这个令人印象深刻的技巧就有效。您的程序必须确定给定数量的卡的卡的初始顺序，1≤n≤20000。

输入

在输入的第一行是一个正整数，告诉我要遵循的测试用例数。每个案例由一行包含整数n组成。输出

对于每个测试用例，输出一行，其值为1到n的正确排列，空格分隔。第一个数字显示包装的顶部卡片等... 实施例

输入： 2

4

5

输出：

2 1 4 3

3 1 4 5 2

现在我能想到的唯一解决方案是使用队列并模拟流程。但那将是O（n ^ 2）。我读了评论，他们建议使用BIT的分段树。我知道段树和BIT，但我无法理解如何在这个问题中实现它们。请建议一些方法来做到这一点。感谢名单

Answer 1

我不知道为什么这个问题应该与BIT或分段树相关联，但我使用简单的“O（N ^ 2）”模拟解决了这个问题。

首先，此问题的时间限制为11s和N == 20000。这表明O(kN)解决方案可以解决问题。我相信你认为这个k应该是N，因为简单的模拟需要这个，但不知何故它可以被优化。

让我们看看在N == 5时如何构造序列：

Round 1, count 1 space starting from first space after last position:        _ 1 _ _ _
Round 2, count 2 spaces starting from first space after last position:       _ 1 _ _ 2
Round 3, count 3 spaces starting from first space after last position:       3 1 _ _ 2
Round 4, count 4 spaces starting from first space after last position:       3 1 4 _ 2
Round 5, count 5 spaces starting from first space after last position:       3 1 4 5 2

我们可以看到一个很好的模式：对于圆形i，我们应该从最后一个位置后的第一个空格开始计算i空格，并在必要时变回。

然而，关键的一步是：在几轮之后，剩下的空间将小于要计算的空间。在这种情况下，我们可以使用mod来节省时间！

例如，在前一个示例的第4轮中，我们只剩下2个空格但需要计算4个空格。如果算上4，那就浪费时间了。 计数4个步骤相当于从最后一个位置后的第一个空格开始计算4％2 == 0个空格。您可以自己验证这一点：）

因此，我们可以使用代码模拟此过程：

memset(ans, 255, sizeof(ans));
while (cur <= n)
{
    int i, cnt;
    int left = n - cur + 1; // count how many spaces left
    left = cur % left + 1; // this line is critical, mod to save time!

    for (i = pos, cnt = 0; ; ++i) // simulate the process
    {
        if (i > n) i = 1;
        if (ans[i] == -1) ++cnt;
        if (cnt == left) break;
    }

    ans[i] = cur;
    pos = i;

    ++cur;
}

Answer 2

如果你想使用Fenwick树（BIT）来解决这个问题，请仔细看看nevets发布的解决方案，特别是这部分（感谢绘图）：

Round 1, count 1 space  starting from first space after last position:       _ 1 _ _ _
Round 2, count 2 spaces starting from first space after last position:       _ 1 _ _ 2
Round 3, count 3 spaces starting from first space after last position:       3 1 _ _ 2
Round 4, count 4 spaces starting from first space after last position:       3 1 4 _ 2
Round 5, count 5 spaces starting from first space after last position:       3 1 4 5 2

使用上述方法找到正确的自由空间时间复杂度为O（N），因为我们必须通过所有空间（总复杂度O（N ^ 2））。请注意，我们可以使用以下方法计算下一个位置：

free(next_pos) = (free(current_pos) + next_number) mod free(total) + 1

其中free（x）告诉我们有多少空闲空间到（包括）一个位置。这不是next_pos的直接公式，但它告诉我们它需要满足什么，所以我们可以使用这些信息进行二进制搜索。

唯一要做的就是进行自由空间计算，这就是BIT发挥作用的地方，因为它为查询和更新提供了O（log N）的时间复杂度。找到空闲空间的时间复杂度现在为O（log ^ 2 N），总时间复杂度为O（N log ^ 2 N）。

至于跑步速度：

3.16s的方法nevets建议
1.18s使用队列来旋转元素
使用链接列表旋转0.60秒
0.02s使用BIT。

我必须说我对速度增益感到非常惊讶： - ）

P.S。如果您不确定如何使用BIT，请通过将所有值更新+1来初始化。在标记一个插槽时，只需将其更新为-1即可。

Ctrick BIT无法理解

2 个答案: