基于快速分区的概率

Question

我遇到过这个问题：

令0 <α<.5为某个常数（与输入数组长度n无关）。回想一下QuickSort算法采用的Partition子程序，如讲座中所述。通过随机选择的枢轴元素，分区子程序产生的分裂是什么概率，其中两个子阵列中较小的子阵列的大小是原始阵列大小的α倍？

Its answer is 1-2*α.

有谁能解释我这个答案是怎么来的？请帮助。

Answer 1

枢轴元素的选择是随机的，具有均匀分布。

数组中有N个元素，我们假设N很大（或者我们不会得到我们想要的答案）。

如果0≤α≤1，则小于枢轴的元素数量小于αN的概率是α。元素数大于的数量小于αN的概率是相同的。如果α≤1/ 2，则这两种可能性是排他性的。

要说较小的子阵列长度≥αN，可以说这些条件都不成立，因此概率为1-2α。

Answer 2

数组长度为n。 对于较小的阵列长度＆gt; =αn，枢轴应大于αn个元素。同时，枢轴应小于αn个元素（否则较小的阵列大小将小于要求）

因此，在n个元素中，我们必须在（n-2α）n个元素中选择一个。

所需概率为n（1-2α）/ n。

因此1-2α

Answer 3

解决问题的另一种方法（对于那些不耐烦地理解它的人，就像我一样）。

<强>首先 由于我们讨论的是“两个子阵列中较小的一个”，因此它的长度小于1/2 * n（n - 原始数组中的元素数）。

<强>第二 如果0 < a＆lt; 0.5表示a * n也小于1/2 * n。 因此，我们从现在开始讨论两个随机选择的整数，最低点为0，最高点为1/2 * n。

<强>第三 让我们想象一下骰子的数字从1到6的两侧。让我们选择一个从1到6的数字，例如4.现在滚动骰子。每个数字的概率为1/6，是该滚动的结果。因此，对于事件“结果小于或等于4”，我们的概率等于每个结果的概率之和。并且我们有数字1,2,3和4.总共p（x <= 4）= 4 * 1/6 = 4/6 = 2/3。因此，事件“输出大于4”的概率是p（x> 4）= 1-p（x <= 4）= 1 - 2/3 = 1/3。

<强>四 让我们回到我们的问题。 “所选号码”现在是* n。我们将使用从0到（1/2 * n）的数字掷骰子得到k - 最小子阵列中的元素数量。结果以（a * n）最高为界的概率等于从0到（a * n）的所有结果的概率之和。并且任何特定结果k的概率是p（k）= 1 /（1/2 * n）。

因此p（k <= a * n）=（a * n）*（1 /（1/2 * n））= 2 * a。

由此我们可以很容易地得出结论p（k> a * n）= 1-p（k <= a * n）= 1 - 2 * a。

Answer 4

概率是，所需元素的数量/元素的总数。 在这种情况下，（（1-αn） - （αn））/ n 由于α介于0和0.5之间，（1-α）必须大于α。因此，它们之间包含的元素数量将是， （1-α-α）N =（1-2α）N 所以，概率是， （1-2α）N / N =1-2α

Answer 5

其他答案没有完全点击我，所以这是另一个想法：

如果2个子阵列中至少有一个必须为，则可以推断出枢轴也必须位于位置。矛盾显而易见。如果数据透视为，则存在小于的子数组。根据相同的原因，枢轴也必须是。枢轴的任何较大值将产生比“右侧”更小的子阵列。

这意味着，如下图所示：

我们想要计算的是该事件的概率（称之为A），即。

我们计算事件概率的方法是将成分结果的概率加总，即枢轴位于。

该总和表示为：

这很容易简化为：

取消一些后，我们得到：

Answer 6

考虑一个大小为100的数组，其中包含值从1到100的元素（未排序）。 可以将随机选择的数据透视表放置在1到100的任意位置，并且将其放置后会将数组分为两部分。 由于alpha大于0且小于50，因此拆分的较小尺寸不能为0，因此它应该为1或大于1直至49。 当枢轴放置在位置1到49（含）之间时，这将是拆分的第一部分，说A（从1到49），而剩下的第二部分B（从99到51）。 如果将枢轴放置在位置52到100（含）之间，则拆分A的第一部分（从51到99）到第二部分B（从49到1）。

让我们说枢轴已放置

在位置1处，拆分的左侧包含大小为1的A，右侧包含大小为99的B。
在位置2处，拆分的左侧包含2号大小的A，右侧包含98号大小的B。

...

在位置49处，该拆分在左侧包含大小为49的A，在右侧包含大小为51的B。

位置52，则拆分在左侧包含大小为51的A，在右侧包含大小为49的B。
在位置53处，拆分的左侧包含大小为52的A，右侧包含大小为48的B。

...

在位置100处，拆分的左侧包含大小为99的A，右侧包含大小为1的B。

在前49个拆分中，A保持小于B，在接下来的49个拆分中，B保持小于A。

通过说“两个子数组中较小的一个的大小≥原始数组的大小的α倍”，它要求的上述不平衡分割之间的平衡分割数。 此处有两个这样的平衡拆分

在位置50处，拆分的左侧包含大小为50的A，右侧包含大小为50的B。

位置51处的拆分在左侧包含大小为50的A，在右侧包含大小为50的B。

因此有98个不平衡拆分和2个平衡拆分，因此可以计算为

（拆分总数）-（不平衡拆分数）

（100）-（2 * 49）

2个平衡分割。

Answer 7

另一种方法： 列出“更平衡”选项：

αn + 1 to (1 - α)n - 1

αn + 2 to (1 - α)n - 2

...

αn + k to (1 - α)n - k

总共k。我们知道最平衡的是n / 2 to n / 2，所以：

 αn + k = n / 2 => k = n(1/2 - α)

同样，列出“不太平衡”选项：

αn - 1 to (1 - α)n + 1

αn - 2 to (1 - α)n + 2

...

αn - m to (1 - α)n + m

总共m。我们知道最不平衡是0到n，所以：

αn - m = 0 => m = αn

因为所有这些选项都以相同的概率发生，所以我们可以使用概率的频率定义，所以：

Pr{更平衡} =（更平衡的总数）/（选项的总数）=>

Pr{More balanced} = k / (k + m) = n(1/2 - α) / (n(1/2 - α) + αn) = 1 - 2α