Question

如果我们将对类别的理解限制为Haskell中通常的Category类：

class Category c where
  id :: c x x
  (>>>) :: c x y -> c y z -> c x z

然后让我们说Arrow是Category，还可以：

class Category c => Arrow c where
  (***) :: c x y -> c x' y' -> c (x,x') (y,y')
  (&&&) :: c x y -> c x y' -> c x (y,y')

我们可以很容易地得出：

first :: c x y -> c (x,z) (y,z)
first a = a *** id

second :: c x y -> c (z,x) (z,y)
second a = id *** a

或者我们可以从(***)和first派生second：

a1 *** a2 = first a1 >>> second a2

我们还可以推导出：

dup :: c x (x,x)
dup = id &&& id

或者我们可以(&&&)和dup得出(***)：

a1 &&& a2 = dup >>> (a1 *** a2)

我的观点是什么？我的问题是什么？就是这样：

没有Arrow的{{1}}是什么？它看起来非常连贯和有用。是否有任何箭头法律（除了类别法律之外）不涉及arr并且在这里保持完整？这在类别理论中意味着什么？

我基本上从reddit中窃取了这个问题，但是对其进行了概括和阐述： http://www.reddit.com/r/haskell/comments/2e0ane/category_with_fanout_and_split_but_not_an_arrow/

Answer 1

正如Arrow是包含产品的类别一样，Arrow没有arr也是一个带产品的类别（因此类别法始终有效）。

arr是从Hask类别到c类别的仿函数。下面显示的代码表明了这一点。 arr提供了一种将正常函数（即Hask中的态射）提升到实例化c类别的方法。这有点像fmap（从Hask到Hask的endofunctor），但更为通用。与此相关，一些箭头法则here描述了算子法则（尽管也有产品法则）。

因此，通过省略arr，您将失去提升正常功能的功能，或者从另一个角度来看，可以免于实现它。但是，所有其他特征都是相同的。

{-# LANGUAGE TypeOperators, RankNTypes #-}

-- | Functor arrow
type (:->) c d = forall a b. c a b -> d a b

-- | Hask category; types are objects, functions are morphisms.
type Hask = (->)

arr :: Arrow c => Hask :-> c
arr = Control.Arrow.arr

没有arr的箭头

1 个答案: