Question

这个问题是关于使用NumPy与Octave / MATLAB的计算精度（下面的MATLAB代码仅用Octave测试过）。我在Stackoverflow上发现了一个类似的问题，即this，但这似乎与我在下面提到的内容有些不同。

设置

一切都在Ubuntu 14.04上运行。

Python 3.4.0版。

针对OpenBLAS编译的NumPy版本1.8.1。

针对OpenBLAS编译的Octave版本3.8.1。

示例代码

示例Python代码。

import numpy as np
from scipy import linalg as la

def build_laplacian(n):
  lap=np.zeros([n,n])
  for j in range(n-1):
    lap[j+1][j]=1
    lap[j][j+1]=1
  lap[n-1][n-2]=1
  lap[n-2][n-1]=1

  return lap

def evolve(s, lap):
  wave=la.expm(-1j*s*lap).dot([1]+[0]*(lap.shape[0]-1))
  for i in range(len(wave)):
    wave[i]=np.linalg.norm(wave[i])**2

  return wave

我们现在运行以下内容。

np.min(evolve(2, build_laplacian(500)))

给出了e-34的顺序。

我们可以在Octave / MATLAB中生成类似的代码：

function lap=build_laplacian(n)
  lap=zeros(n,n);
  for i=1:(n-1)
    lap(i+1,i)=1;
    lap(i,i+1)=1;
  end

  lap(n,n-1)=1;
  lap(n-1,n)=1;
end

function result=evolve(s, lap)
  d=zeros(length(lap(:,1)),1); d(1)=1;
  result=expm(-1i*s*lap)*d;
  for i=1:length(result)
    result(i)=norm(result(i))^2;
  end
end

然后我们运行

min(evolve(2, build_laplacian(500)))

并获取0。实际上，evolve(2, build_laplacian(500)))(60)会提供e-100或更少的内容（如预期的那样）。

问题

有没有人知道NumPy和Octave之间如此大的差异会导致什么？（再次，我还没有用MATLAB测试代码，但我希望看到类似的结果）。

当然，也可以通过首先对矩阵进行对角化来计算矩阵指数。我已经这样做了，并且得到了类似或更差的结果（使用NumPy）。

EDITS

我的scipy版本为0.14.0。我知道Octave / MATLAB使用Pade近似方案，并熟悉这个算法。我不确定scipy是做什么的，但我们可以尝试以下方法。

使用numpy＆＃39; s eig或eigh对矩阵进行对角化（在我们的例子中，后者工作正常，因为矩阵是Hermitian）。结果我们得到两个矩阵：对角矩阵D和矩阵U，其中D由对角线上原始矩阵的特征值组成，U组成相应的特征向量作为列;这样原始矩阵由U.T.dot(D).dot(U)给出。
Exponentiate D（现在这很容易，因为D是对角线的）。
现在，如果M是原始矩阵且d是原始向量d=[1]+[0]*n，我们会得到scipy.linalg.expm(-1j*s*M).dot(d)=U.T.dot(numpy.exp(-1j*s*D).dot(U.dot(d))。

不幸的是，这会产生与以前相同的结果。因此，这可能与numpy.linalg.eig和numpy.linalg.eigh的工作方式或numpy在内部算术的方式有关。

所以问题是：我们如何提高numpy的精确度？实际上，如上所述，在这种情况下，Octave似乎做得更好。

Answer 1

以下代码

import numpy as np
from scipy import linalg as la
import scipy

print np.__version__
print scipy.__version__

def build_laplacian(n):
  lap=np.zeros([n,n])
  for j in range(n-1):
    lap[j+1][j]=1
    lap[j][j+1]=1
  lap[n-1][n-2]=1
  lap[n-2][n-1]=1
  return lap

def evolve(s, lap):
  wave=la.expm(-1j*s*lap).dot([1]+[0]*(lap.shape[0]-1))
  for i in range(len(wave)):
    wave[i]=la.norm(wave[i])**2
  return wave

r = evolve(2, build_laplacian(500))
print np.min(abs(r))
print r[59]

打印

1.8.1
0.14.0
0
(2.77560227344e-101+0j)

对我来说，使用OpenBLAS 0.2.8-6ubuntu1。

所以看来你的问题没有立即复制。上面的代码示例不能按原样运行（拼写错误）。

如scipy.linalg.expm documentation所述，该算法来自Al-Mohy和Higham（2009），它与Octave中更简单的scale-and-square-Pade不同。

因此，我从Octave得到的结果略有不同，尽管结果在矩阵范数（1,2，inf）中接近eps。 MATLAB使用Higham（2005）的Pade方法，它似乎与上面的Scipy给出了相同的结果。

Python NumPy与Octave / MATLAB精度

1 个答案: