如何以度为单位计算正确的三角函数？

Question

如何定义以度为单位而不是通常的弧度的参数的三角函数，并为这些参数计算正确的舍入结果？

将参数乘以M_PI/180.0，然后将其传递给弧度中的相应函数不起作用，因为M_PI/180.0不是π/ 180。 “浮点运算手册”的第5.5节提供了一种方法来计算参数的正确舍入乘积π/ 180，但是一些参数仍然是这样的，即该乘积接近两个连续可表示浮点数之间的中点，然后在弧度中应用甚至正确舍入的函数可能会产生错误的最终结果。

可以单独或组合使用的两种策略使用更高的精度并使用CRlibm中的sinpi，cospi，tanpi三角函数，分别计算{{ 1}}，sin(πx)和cos(πx)。

对于后一种策略，仍然存在180分割的问题，这对于许多论证来说并不完全。

关于更高精度的策略（将参数乘以π/ 180的扩展精度表示，然后在弧度中应用扩展精度函数），“精确”情况可能仍然存在问题。在tan(πx)中获得理性参数sin，cos和tan的唯一理性结果的定理仅适用于弧度版本。它显然不适用于度数版本，如果对于某些浮点输入x，sindeg（x）恰好是两个连续可表示的浮点数之间的中点，那么没有多少中间精度足以保证最终结果是正确的舍入。

Answer 1

q合理的唯一理性cosdeg(360q)以1,2,3,4或6为分母。 Joerg Jahnel的This paper在第6节中使用场论进行了简短而美观的证明。（实际上，作者使用欧拉的函数来表征代数数cosdeg(360q)的程度。）因此，没有浮动 - 指向q，使cosdeg(360q)位于两个相邻浮点数之间。

所以我猜答案是“关于你实现sin和朋友们实现弧度的方式相同”，尽管@ gnasher729提出了一个很好的观点，即度数的参数减少更多，更好。

Answer 2

这很难。从积极的方面来说，你可以将参数精确地减少到+/- 45度。因此，您需要在+/- 45度之间正确舍入结果。对于非常小的x，sin（x）约为x *（pi / 180），其足够硬以完全圆化。

为了得到正弦函数的大多数正确舍入结果，例如，取-45＆lt; = x＆lt; = 45.将x分成xhi = round（512 x）/ 512和xlo = x - xhi。设罪（x度）≈ax - bx ^ 3。舍入a和b，以便精确计算s（x）a * xhi - b *（xhi ^ 3）。仔细计算余数sin（x度） - s（x）;舍入误差应该非常小，因为结果很小。添加到s（x），这将在大多数情况下给出正确的舍入结果。

Answer 3

嗯，这是一个很难的问题。让我澄清一些观点：

• 输出需要什么精度？是IEEE 754单精度还是双精度还是非标准？此外，我假设，输入，即以度表示的输入，应以与输出相同的精度表示，因为正常的弧度输入就是这种情况。
• 您的效果指标是什么？ CRlibm经过优化，可生成正确的舍入双精度结果。另一方面，MPFR用于任意精度，但是当你只需要双精度输出时它比CRlibm慢得多。
• 你的工作范围是多少？即[min argument，max argmunet]？这对CRlibm很重要，因为它适用于双精度范围。但是，MPFR并不重要。

如果您有义务仅以度数使用输入，我基本上建议使用MPFR。让我提醒你，任何以度为单位的论证，当它乘以（Pi / 180）时，它会产生一个超越数。但是，传递给三角函数的是浮点表示舍入，最好是舍入到最接近的整数，达到工作精度。

我建议你这样做：

1. 使用MPFR，尽可能使用C库，因为它提供了比绑定更好的性能。
2. 将MPFR精度设置为远高于目标精度。例如（目标精度+ 300）。通过这样做，可以避免操作的任何精度损失（（Argument * Pi）/ 180）。 这可以通过mpfr_set_default_prec（）在MPFR C库中轻松完成。
3. 执行操作：X_n =（Argument * Pi）/ 180，然后执行Sin（X_n）或您想要的任何功能。 MPFR中有一个常量Pi，表示在您的工作精度内
4. 将结果舍入到目标精度。
穆勒的“基本功能”在统计上显示，如果工作精度稍微大于目标精度的两倍，则大多数（而非全部）硬壳都会被正确舍入。但在你的情况下，由于输入在理论上是超越的，为了安全，以牺牲性能为代价，使工作精度远高于目标。实际上，如果你需要最多双精度的最终结果，10x对于几乎100％的情况是完全足够的。

如果您需要低精度，即单精度或更低精度，则可以进行详尽的测试，以确定最低工作精度，从而使所有情况都正确舍入。

Answer 4

您首先需要检测确切的案例，这已经得到了解答。现在，对于其他情况，桌面制造商的困境是众所周知的问题。如果您的算术具有固定（和小）精度，并且您希望获得可能需要的中间精度的认证界限，则有两种已知解决方案：

• 根据Nesterenko和Waldschmidt的定理获得一个界限，如我博士论文的第4.3节所述（顺便说一句，我认为这也会给你确切案例的形式）。但是你会得到非常大的精度界限（至少几百万位？）。
• 找到最难对付的案例。在[0,180]中进行搜索就足够了，因为任何较大的参数都将减少到[0,180]中的值，而相同的小数部分（因为周期是整数）。