这更像是一个matlab /数学脑筋急转弯而非一个问题

Question

这是设置。对我正在使用的值没有假设。

n=2; % dimension of vectors x and (square) matrix P 
r=2; % number of x vectors and P matrices
x1 = [3;5]
x2 = [9;6]
x = cat(2,x1,x2)
P1 = [6,11;15,-1]
P2 = [2,21;-2,3]
P(:,1)=P1(:)
P(:,2)=P2(:)
modePr = [-.4;16]
TransPr=[5.9,0.1;20.2,-4.8]

pred_modePr = TransPr'*modePr
MixPr = TransPr.*(modePr*(pred_modePr.^(-1))')
x0 = x*MixPr

然后是时候应用以下公式来获得myP

，其中μij是MixPr。我使用此代码来获取它：

myP=zeros(n*n,r);
Ptables(:,:,1)=P1;
Ptables(:,:,2)=P2;
for j=1:r
    for i = 1:r;
        temp = MixPr(i,j)*(Ptables(:,:,i) + ...
        (x(:,i)-x0(:,j))*(x(:,i)-x0(:,j))');
        myP(:,j)= myP(:,j) + temp(:);
    end
end

有些聪明人提出这个公式作为产生myP

的另一种方式

for j=1:r 
  xk1=x(:,j); PP=xk1*xk1'; PP0(:,j)=PP(:);
  xk1=x0(:,j); PP=xk1*xk1'; PP1(:,j)=PP(:);
end
myP = (P+PP0)*MixPr-PP1

我试图制定两种方法之间的相等性，似乎就是这一种。为了简化操作，我在两种方法中都跳过了矩阵P的总和。

其中第一部分表示我使用的公式，第二部分来自他的代码片段。你认为这是一个明显的平等吗？如果是，请忽略以上所有内容，然后尝试解释原因。我只能从LHS开始，经过一些代数我认为我证明它等于RHS。但是，我不知道他（或她）是如何首先想到它的。

Answer 1

使用E作为期望，您的公式的一维版本是熟悉的：

Variance(X) = E((X-E(X))^2) = E(X^2) - E(X)^2

虽然第二种形式可能更容易编程，但由于四舍五入错误，我担心会因使用它而以负面（或多维情况下，非正定）答案结束。