Question

获取数字数字的最有效方法是什么？

让我们从一个例子开始：

想象一下Fibonacci序列。现在让我们说我们想知道哪个Fibonacci数是第一个有1000个数字（以10为基数表示）。最多308位数（第1476个Fibonacci数）我们可以使用logBase 10 <number>轻松完成此操作。如果该数字大于第1476个Fibonacci数，logBase将返回Infinity，计算将失败。问题是308距离1000有点远，这是我们最初的目标。

一种可能的解决方案是将我们想要知道的数字转换为字符串的数字，并使用它的长度来确定数字计数。对于我的目的来说这有点效率低，因为用10000来尝试它会花费它的甜蜜时间。

other questions中显示的最有效的方法是硬编码我确实不想做的所有可能情况，特别是因为在建议的解决方案中需要的位数超过10。

回到我的问题：确定基数为10的数字计数的最佳（最有效）方法是什么？是真的将它转换为字符串并使用它的长度，还是有任何＆＃34;黑客＆＃34;像0x5f3759df这样的技巧？

注意：我很欣赏任何语言的解决方案，即使它被标记为＆＃34; haskell＆＃34;。

Answer 1

为什么不使用div，直到它不再大于10？

digitCount :: Integer -> Int
digitCount = go 1 . abs
    where
        go ds n = if n >= 10 then go (ds + 1) (n `div` 10) else ds

O(n)复杂度为n，其中1000是位数，您可以通过查看100，然后10，然后{{}来轻松加快速度。 1}}，但这可能足以满足大多数用途。

作为参考，在我不太好的笔记本电脑上运行它只在GHCi中运行并使用非常不准确的:set +s统计标记：

> let x = 10 ^ 10000 :: Integer
> :force x
<prints out 10 ^ 10000>
> digitCount x
10001
it :: Int
(0.06 secs, 23759220 bytes)

所以看起来非常快，它可以在不到10秒的时间内通过一个10001位的数字而无需优化。

如果你真的想要O(log(n))的复杂性，我建议你写一个你自己的版本，每次除以2，但是这个版本比10除以10更多参与和棘手。为了你的目的这个版本将轻松计算最多约20000位数字的位数而没有问题。

Answer 2

如果您只想查找列表中至少有digitCount位数的第一个数字，可以通过检查O(1)来测试fibBeingTested >= 10^{digitCount - 1}中的每个数字。这是有效的，因为10^{digitCount - 1}是具有至少digitCount位数的最低数字：

import Data.List (find)

fibs :: [Integer]
-- ...

findFib :: Int -> Integer
findFib digitCount =
  let Just solution = find (>= tenPower) fibs
  in
  solution
  where
    tenPower = 10 ^ (digitCount - 1)

我们使用digitCount - 1，因为10^1是10，有两位数。

由于此比较具有O(1)复杂性，您可以非常快速地找到斐波那契数字。在我的机器上：

λ> :set +s
λ> findFib 10000
[... the first Fibonacci number with at least 10,000 digits ...]
(0.23 secs, 121255512 bytes)

如果fibs的列表已经计算到10,000th数字斐波纳契（例如，如果你运行findFib 10000两次），它的速度会更快，这表明更多的计算是计算每个斐波纳契数而不是找到你要找的那个：

λ> findFib 10000   -- Second run of findFib 10000
[... the first Fibonacci number with at least 10,000 digits ...]
(0.04 secs, 9922000 bytes)

Answer 3

如果只是为了获得超过1000位的斐波那契数字，length . show（Integer}就足够了。

GHCi> let fibs = Data.Function.fix $ (0:) . scanl (+) 1
GHCi> let digits = length . (show :: Integer -> String)
GHCi> :set +t +s
GHCi> fst . head . dropWhile ((1000>) . digits . snd) $ zip [0..] fibs
4782
it :: Integer
(0.10 secs, 149103264 bytes)

对于浮点数（因此可以使用logBase），在Double numbers包的范围之外。它们的速度很慢，但你必须为这种准确性付出代价。

Answer 4

您总是可以尝试使用二进制搜索来查找 n 的位数：首先找到 k ，使得10 ^ 2 ^k≥n，然后除以n连续10 ^ 2 ^（k-1），10 ^ 2 ^（k-2），...，10 ^ 2 ^ 0：

numDigits n = fst $ foldr step (1,n) tenToPow2s
  where
    pow2s = iterate (*2) 1
    tenToPow2s = zip pow2s . takeWhile (<=n) . iterate (^2) $ 10
    step (k,t) (d,n) = if n>=t then (d+k, n `div` t) else (d,n)

对于Fibonacci数的特定情况，您也可以尝试数学： n -th Fibonacci数F（n）介于（φ^ n-1）/√5和（φⁿ+之间） 1）/√5所以对于基数10的对数，我们有：

log（F（n）） - n log（φ）+ log（√5）∈[log（1 - 1 /φⁿ），log（1 + 1 /φⁿ）]

这个间隔很快就会消失。

最有效的方法来获得任意大数字的数字计数

4 个答案: