Question

在3d空间中给出多条（N）线，找到最小化到所有线的距离的点。

假设线[aX + b]和点[P]之间的最短距离将在垂直线[aX + b] - [P]上，我可以将最小平方距离表示为平方线的总和距离，例如。（[aX + b] - [P]）^ 2 + ... +（[aX + b] n- [P]）^ 2.
由于线是垂直的，我可以使用Dot Product在行词

我考虑过使用最小二乘法估算最小化距离的点，问题是标准最小二乘法将近似给定一组点的最佳拟合线/曲线，我需要的是相反的，给定一组线估计最佳拟合点。

应如何处理？

Answer 1

从wikipedia开始，我们读到行a'x + b = 0和点p之间的平方距离为(a'p+b)^2 / (a'a)。因此，我们可以看到最小化平方距离之和的点是加权线性回归问题，每条线观察一次。回归模型具有以下属性：

ax+b=0

ax+b=0

ax+b=0

您应该可以使用任何标准统计软件解决此问题。

Answer 2

方法：

一旦你有了N个方程，这就变成了一个简单的优化问题。当然，最后一步的难度在很大程度上取决于你选择的标准（最小二乘法很简单，极小极大不那么简单。）

可能有助于你前进的一件事是找到最简单的方程式，给出从一个点到另一个点的距离。你的想法在＃1中是正确的，但你需要多考虑一下（或者检查＆＃34;从一个点到另一个点的距离＆＃34;使用任何搜索引擎）。

Answer 3

以下是使用微积分的解决方案： -

F(x,y) = sum((y-mix-ci)^2/(1+mi^2))

使用偏分化： -

dF(x,y)/dx = sum(2*(y-mix-ci)*mi/(1+mi^2))

dF(x,y)/dy = sum(2*(y-mix-ci)/(1+mi^2))

To Minimize F(x,y) :-

dF(x,y)/dy = dF(x,y)/dx = 0

使用Gradient Descent使用特定的学习率和随机重启来尽可能地找到最小值

Answer 4

我使用hill climbing解决了同样的问题。考虑一个单点和远离它的26个邻居step（以当前点为中心的立方体上的点）。如果距离点的距离优于距离所有邻居的距离，则逐步分割，否则使邻居具有最佳距离的新当前点。继续，直到步骤足够小。

Answer 5

您可以对这个问题应用以下答案（该问题涉及找到最接近一组平面的点），因为就像平面可以由平面上的点和平面的法线定义一样，可以通过一条线所经过的点以及与该线正交的“法线”矢量来定义一条线：

您可以通过观察1/2 x^T A x - b x + c的解为x_min = A^{-1} b来解决所得的二次形式。