查找有向循环图中的所有路径作为正则表达式

Question

设G =（V，E，r）有根有向图，由一组顶点V和一组边E定义，具有指定的根节点r。 图表可能包含周期。任务：给定V中的两个顶点x和y，找到从x到y的所有路径。

由于允许循环，路径集显然可以是无限的。因此，我想以正则表达式（Kleene Algebra）的形式找到路径集。以下是一些示例：Examples graphs。乘法表示序列，因此路径abc表示先是a，然后是b，然后是c。一组路径a（b + c + d）表示首先是a，然后是b，c或d。克莱恩星a *表示a重复零或更多，a +重复一次或多次。

现在我正在寻找一种通过算法构建这些表达式的方法。到目前为止我想出了什么：

• 构造新的表达式树T.
• 在结束节点y开始搜索。
• 找到所有前辈p到y。
每个p
• ：
  • 将p作为子节点添加到T中的y。
  • 从p向根向上追溯树的路径。如果沿途发现y，则从y到p有一个循环。因此，不仅p是y的前身，而且 （路径）*也是p的前身。因此，将（path）*添加为p。
  的子节点
  • 对于所有非循环前辈，使用y：= p作为新的结束节点进行递归调用。

最后：

• 反转树，使其以结束节点结束
• 将表达式树转换为表达式（直截了当）

不确定这是否会起作用，但是，最坏情况的复杂性也会超过2 ^ n。有没有人知道这个或类似问题的算法？

Answer 1

您的算法的一般想法似乎是合理的。但是，我猜测在你需要编写代码的反向跟踪步骤中可能会有很多特殊情况。特别是，我没有看到一个简单的方法来考虑周期内的周期，即（路径）*本身包含一个需要Kleene星的术语。

我有单独的建议。该图表可以转换为NFA，允许使用任何well known algorithms将NFA转换为正则表达式。

将图表转换为NFA：

• 将节点x设置为开始状态。
• 将节点y设置为唯一的接受状态。
• 对于每个节点 a ，标记其所有传入边 a 。