Question

我正在进行一些相当简单的线性衰减和吸收计算，从高中数学开始，我似乎记得有一个近似值：

1-EXP（-mu * T）

何时

mu * t＆lt;＆lt; 1

这种近似是否存在？我认为这是一个泰勒系列的扩展，但在查看旧的数学教科书后无法说服自己。

非常感谢任何帮助或指示。

Answer 1

mu * t加O（（mu * t）^ 2）

要了解原因，请尝试将其重写为f(u) = 1-exp(-u)，并在u=0点进行Taylor series展开。

Answer 2

例如，如果您使用的是C ++ 11，它将此功能作为标准库的一部分：expm1。

在您的情况下，您可以将其称为-expm1(-mu*t)。

否则，您可以通过简单地删除第一个来轻松地从expm1的Maclaurin系列中导出exp(x)的Maclaurin系列。下面在expm1_maclaurin中给出了一个实现。

将其与内置expm1：

进行比较

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <limits>
using namespace std;

double expm1_maclaurin( double x )
{
    const double order = 10;
    double retval = 1.0;
    for( int i = order ; 1 < i ; --i ) retval = 1.0 + x*retval/i;
    return x*retval;
}

int main()
{
    cout.precision(numeric_limits<double>::digits10);
    for( int i = 0 ; i <= 32 ; ++i )
    {
        double x = i < 0 ? 1.0 * (1u<<-i) : i < 32 ? 1.0 / (1u<<i) : 0;
        cout << "x=" << x << ' '
             << expm1(x) << ' '
             << expm1_maclaurin(x) << ' '
             << ( expm1(x) == expm1_maclaurin(x) ) << endl;
    }
    return 0;
}

输出：

x=1 1.71828182845905 1.71828180114638 0
x=0.5 0.648721270700128 0.648721270687366 0
x=0.25 0.284025416687742 0.284025416687735 0
x=0.125 0.133148453066826 0.133148453066826 1
x=0.0625 0.0644944589178594 0.0644944589178594 1
x=0.03125 0.0317434074991027 0.0317434074991027 1
...

对于所有正面x <= 1/8，结果等于double的完整expm1精度。

当mu * t非常小时，1-exp（-mu * t）的近似值

2 个答案: