Question

我是依赖类型的新手，我对这两者之间的区别感到困惑。似乎人们通常会说某个类型是由另一个类型参数化，而由某个值索引。但是，依赖类型语言中的类型和术语之间没有区别吗？参数和指数之间的区别是否基本？你能告诉我在编程和定理证明中它们的含义不同的例子吗？

Answer 1

当您看到一系列类型时，您可能想知道它所拥有的每个参数是参数还是 indices 。

参数仅表示该类型在某种程度上是通用的，并且对于所提供的参数，其行为参数化。

这意味着，例如，类型List T将具有相同的形状，无论您考虑哪个T：nil，cons t0 nil，{{1} cons t1 (cons t2 nil)的选择只会影响T，t0，t1可插入的值。

另一方面，

指数可能会影响您在该类型中找到哪些居民！这就是为什么我们说 index 是一个类型的家族，也就是说，每个索引都会告诉你正在查看哪一种类型（在类型族中）（在这个意义上，参数是一个退化的情况，其中所有索引都指向同一组“形状”。）

例如，类型系列t2或有限的大小Fin n包含非常不同的结构，具体取决于您选择的n。

索引n索引为空集。索引0索引具有一个元素的集合。

从这个意义上说，对指数价值的了解可能带有重要信息！通常，您可以通过查看索引来了解可能使用或未使用的构造函数。这就是依赖类型语言中的模式匹配可以消除不可行模式，并从触发模式中提取信息。

这就是为什么在定义归纳族时，通常可以定义整个类型的参数，但是你必须为每个构造函数指定索引（因为你可以为每个构造函数指定它所遵循的索引）在）。

例如，我可以定义：

此处，F (T : Type) : ℕ → Type C1 : F T 0 C2 : F T 1 C3 : F T 0是参数，而T和0是索引。当您收到1类型的x时，查看F T n的内容将不会显示T的任何内容。但是看x会告诉你：

当n为x时，C1必须为C3或n
当0为x时，C2必须为n
1必须是从矛盾中伪造的，否则

同样，如果您收到类型为x的{{1}}，则表示您只需要对y和F T 0进行模式匹配。

Answer 2

这是一个按某种值划分的类型的例子：

open import Data.Nat

infixr 4 _∷_

data ≤List (n : ℕ) : Set where
  []  : ≤List n
  _∷_ : {m : ℕ} -> m ≤ n -> ≤List n -> ≤List n

1≤3 : 1 ≤ 3
1≤3 = s≤s z≤n

3≤3 : 3 ≤ 3
3≤3 = s≤s (s≤s (s≤s z≤n))

example : ≤List 3
example = 3≤3 ∷ 1≤3 ∷ []

这是一种列表，每个元素都小于或等于n。一般的直觉是：如果某个类型的每个居民都拥有某个属性，那么您可以将其抽象为参数。还有一个机械规则：“如果每个构造函数在第一个索引位置（在结果类型中）具有相同的变量，则第一个索引可以转换为新参数。” 这个引用来自*，你应该读它。

http://people.inf.elte.hu/divip/AgdaTutorial/Sets.Parameters_vs_Indices.html

类型参数和指数之间的区别？

2 个答案: