Question

我正在尝试在Dafny中实现选择排序。

我的sorted和FindMin函数确实有效，但selectionsort本身包含Dafny无法证明的断言，即使它们是正确的。

这是我的计划：

predicate sorted(a:array<int>,i:int)
  requires a != null;
  requires 0 <= i <= a.Length;
  reads a;
{
  forall k :: 0 < k < i ==> a[k-1] < a[k]
}
method FindMin(a:array<int>,i:int) returns(m:int)
  requires a != null;
  requires 0 <= i < a.Length;
  ensures i <= m < a.Length;
  ensures forall k :: i <= k < a.Length ==> a[k] >= a[m];
{
  var j := i;
  m := i;
  while(j < a.Length)
    decreases a.Length - j;
    invariant i <= j <= a.Length;
    invariant i <= m < a.Length;
    invariant forall k :: i <= k < j ==> a[k] >= a[m];
  {
    if(a[j] < a[m]){m := j;}
    j := j + 1;
  }
}
method selectionsort(a:array<int>) returns(s:array<int>)
  requires a != null;
  modifies a;
  ensures s != null;
  ensures sorted(s,s.Length);
{
  var c,m := 0,0;
  var t;
  s := a;
  assert s != null;
  assert s.Length == a.Length;
  while(c<s.Length)
    decreases s.Length-c;
    invariant 0 <= c <= s.Length;
    invariant c-1 <= m <= s.Length;
    invariant sorted(s,c);
  {
    m := FindMin(s,c);
    assert forall k :: c <= k < s.Length ==> s[k] >= s[m];
    assert forall k :: 0 <= k < c ==> s[k] <= s[m];
    assert s[c] >= s[m];
    t := s[c];
    s[m] := t;
    s[c] := s[m];
    assert s[m] >= s[c];
    assert forall k :: c <= k < s.Length ==> s[k] >= s[c];
    c := c+1;
    assert  c+1 < s.Length ==> s[c-1] <= s[c];
  }
}

为什么这是错的？ “postcondtion可能不成立”是什么意思？ Dafny可以举一个反例吗？

Answer 1

您似乎理解循环不变量背后的基本思想，这是使用Dafny验证程序所必需的。

您的计划不正确。发现这种情况的一种方法是在Visual Studio中使用Dafny IDE中的验证调试器。单击报告的最后一个错误（c增量之前的行上的断言），您将看到数组的上半部分包含一个小于s[c]和{{1}的元素}}。然后选择3语句交换操作周围的程序点，你会发现你的交换实际上没有交换。

要修复交换，请交换3语句交换的第二和第三个语句。更好的是，利用Dafny的多重赋值语句，使代码更容易正确：

s[m]

还有另外两个问题。一个是循环内的第二个断言不验证：

s[c], s[m] := s[m], s[c];

虽然assert forall k :: 0 <= k < c ==> s[k] <= s[m];是数组上半部分中的最小元素，但循环不变量需要记录数组下半部分中的元素不大于上部中的元素 - 选择排序算法的基本属性。以下循环不变量可以解决这个问题：

s[m]

最后，关于属性invariant forall k, l :: 0 <= k < c <= l < a.Length ==> s[k] <= s[l];未被循环维护的投诉源于您将sorted(s,c)定义为严格增加的事实，除非交换将永远不会实现数组的元素最初都是不同的。因此，Dafny指出了您必须对排序例程做出的设计决定。您可以决定您的sorted方法仅适用于没有重复元素的数组，您可以通过添加

来执行此操作

selectionsort

作为（并且循环不变）forall k, l :: 0 <= k < l < a.Length ==> a[k] != a[l];的前提条件。或者，更常规地，您可以修改selectionsort的定义，将sorted替换为a[k] > a[m]。

要稍微清理一下代码，现在可以删除所有断言语句和a[k] >= a[m]的声明。由于t仅在循环内部使用，因此您可以将m的声明移动到调用m的语句，这也表明循环不变FindMin是不需要。可以省略两个c-1 <= m <= s.Length子句;对于您的程序，Dafny将自动提供这些。最后，您的decreases方法会修改给定的数组，因此没有真正的理由在out-parameter selectionsort中返回引用a;相反，您可以省略out-parameter并将s替换为s。

选择在Dafny中排序

1 个答案: