Question

我需要最小化五个变量（x [0]到x [4]）

的函数

要最小化的标量函数由X'*H*X给出。目标函数看起来与此类似：

def objfun(x):
    H = 0.1*np.ones([5,5])
    f = np.dot(np.transpose(x),np.dot(H,x))[0][0]
    return f

哪个会返回单个标量值。

问题是，我如何实现由下式给出的约束方程：

A*X - b = 0

A和b在每次运行中都可能发生变化。一个随机的例子是：

A = 
array([[ 1,  2,  3,  4,  5],
       [ 2,  1,  3,  4,  5],
       [-1,  2,  3,  0,  0],
       [ 0, -5,  6,  3,  2],
       [-3,  5,  6,  2,  8]])

B = 
array([[ 0],
       [ 2],
       [ 3],
       [-2],
       [-7]])

A和B不能硬编码到约束函数中，因为它们在每次运行中可能不同。变量没有界限，无需指定优化方法。

修改

我意识到，对于具有5个变量的优化问题，有5个约束方程，只需通过求解方程就可以得到唯一的解。那么如何将A定义为：

A = 
array([[ 1,  2,  3,  4,  5],
       [ 2,  1,  3,  4,  5],
       [-1,  2,  3,  0,  0],
       [ 0,  0,  0,  0,  0],
       [ 0,  0,  0,  0,  0]])


B = 
array([[ 0],
       [ 2],
       [ 3],
       [ 0],
       [ 0]])

所以我们有一个5变量优化问题，有3个线性约束。

Answer 1

您可以尝试使用scipy.optimize.fmin_cobyla功能，我不知道数字详细信息，因此您应该使用您知道预期答案的值进行检查，看看它是否适合您的需求，使用公差参数rhoend和rhobeg，看看你是否得到了预期的答案，示例程序可能是这样的：

import numpy as np
import scipy.optimize

A = \
np.array([[ 1,  2,  3,  4,  5],
          [ 2,  1,  3,  4,  5],
          [-1,  2,  3,  0,  0],
          [ 0,  0,  0,  0,  0],
          [ 0,  0,  0,  0,  0]])

B = \
np.array([[0],
          [2],
          [3],
          [0],
          [0]])

def objfun(x):
    H = 0.1*np.ones([5,5])
    f = np.dot(np.transpose(x),np.dot(H,x))
    return f

def constr1(x):
    """ The constraint is satisfied when return value >=0 """
    sol = A*x
    if np.allclose(sol, B):
        return 0.01
    else:
        # Return the negative distance between the expected solution
        # and the actual solution for a somehow meaningful value
        return -np.linalg.norm(B-sol)

scipy.optimize.fmin_cobyla(objfun, [0.0, 0.0, 0.0, 0.0,0.0], [constr1])
#np.linalg.solve(A, b)

请注意，这个给出的示例没有解决方案，请尝试使用的方法。我不完全确定约束函数是否已正确定义，尝试找到适合您的东西。您应该尝试提供一个初步猜测，它是一个实际的解决方案，而不是[0.0, 0.0, 0.0, 0.0,0.0]，以获得更好的结果。

查看官方文档以获取更多详细信息：http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.fmin_cobyla.html#scipy.optimize.fmin_cobyla

编辑：根据您正在寻找的解决方案类型，您可能会形成更好的约束功能，可能允许与预期解决方案相距一定容差距离的值即使不完全准确，并且返回一个高于0的值，它们越接近公差而不是总是0.1，等等......

Answer 2

NLopt doc 提到了一个简洁的通用方法：
Ax = b的所有解决方案都具有xany + nullspace(A) z，
的形式其中xany是一个解决方案，dim(z) < dim(x) 因此，与无约束f( xany + nullspace(A) z )相比，z最小化。

例如，在3d中，约束x0 + x1 + x2 = 1具有零空间矩阵

[  1  0 ]  : [z0 z1] -> [z0, -z0 + z1, -z1]  -- sum 0
[ -1  1 ]
[  0 -1 ]

（＆＃34;在数值计算零空间时需要注意......＆＃34;）

使用Scipy使用大的相等约束矩阵最小化（scipy.optimize.minimize）

2 个答案: