在R中绘制并求解方程

Question

我想找到最小化我方程的u的值（最小二乘）sum(w*(x-u)^2)

有可能在R中绘制这个等式吗？这可能会让我直观地选择最小化等式的值u。

是否也可以求解最小化方程的u值？

x <- c(0.18, -1.54, 0.42, 0.95)
w <- c(2, 1, 3, 1)
sum(w*(x-u)^2)

Answer 1

您必须参加回归模型 coursera.org课程。这是第一次测验的第一个问题。如果您从课堂上回想起来，那么最小化该总和的值就是x中您的值的平均值。没有必要绘制这个。

然而，您现在有权重来处理。这些权重意味着这些显示多少次您看到特定值。使用您的示例，您会看到0.18 2次，-1.54 1次，0.42 3次，0.95 1次。因此，我们共有7个数字。

如果你想找到这个的实际平均值/平均值，你可以这样做：

values <- (0.18 + 0.18 - 1.54 + 0.42 + 0.42 + 0.42 + 0.95)
numberElements <- 7
mu <- values / numberElements

但是，如果你想更优雅地做到这一点，那真的只是：

values <- (2*0.18 + 1*(-1.54) + 3*(0.42) + 0.95)
numberElements <- 7
mu <- values / numberElements

这不是R友好的。因此，我们只需使用x和w即可为我们执行此操作。你会这样做：

mu <- sum(x*w) / sum(w)

计算的第一部分（分子）实现了我在向你展示的第二段代码中使用values所做的事情。它需要每个数字并乘以相应的权重。分母只是将所有权重加在一起，这与我们在数据中看到的总数相对应。

一旦你计算出来，答案就是0.1471。这将是最小化方差的加权和的值。

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如果您想绘制该值，则可以。只需创建一个封装此加权总和的新函数，其值为u，以及x和w的值。我们可以通过以下function：

执行此操作

squaredError <- function(x, w, r=seq(0,1,0.001)) {
    se <- function(u) {
        sum(w*(x-u)^2)
    }
    sapply(r, se)
}

这定义了一个名为squaredError的函数，它接受两个输入，可选三个输入。第一个和第二个输入是先前定义的x和w向量，r表示要测试的mu值范围，用于查找平方误差的总和。默认情况下，我在0和1之间以0.001为步长进行了此操作。我在x和w已经有词法范围的地方创建了一个辅助函数。该函数只需要一个值u，即我们正在测试的平均值。然后，我们调用sapply来迭代我们在mu中指定的squaredError的所有值。 squaredError的输出将为您指定为mu的每个值的平方误差总和。然后我们可以绘制结果。

# Figure out which index gives us the minimum value
# Assume x and w are defined as before
r <- seq(0,1,0.001)
out <- squaredError(x, w, r)
minIndex <- which.min(out)
minMu <- r[minIndex] # This reports 0.147... not exact but that depends on the resolution of r
minObjective <- out[minIndex] # This reports 3.716543 which is the least sum of squared error

plot(r, out)
abline(v=minMu, lwd=5, col="red")

上面的代码找到最小值的位置，并使用y - 轴上选定的mu值绘制x - 轴上的平方误差总和。然后，我们绘制一条垂直线，表示最小值的位置。你得到：

请注意，您可以使用@MrFlick所述的optimize。但是，如果您想以图形方式进行，这是一种可能的方法。

Answer 2

通常，如果要为单个参数优化函数，可以使用optimize函数

x <- c(0.18, -1.54, 0.42, 0.95)
w <- c(2, 1, 3, 1)

optimize( function(u){ sum(w*(x-u)^2) }, interval=c(-100,100))

# $minimum
# [1] 0.1471429
# 
# $objective
# [1] 3.716543

如果需要，您也可以为u的不同值绘制此目标函数。在这里，我们定义u的函数（我们使用sapply，否则sum()会在运行多个点的函数时折叠结果）并使用curve()

obj <- function(U){sapply(U, function(u) sum(w*(x-u)^2))}
curve(obj, from=-2, to=2)

你可以看到最小值出现在0.1471429附近。