使用GNU Scientific Library（GSL）使用不均匀间隔的点绘制2D B样条曲线路径

Question

我试图使用GNU科学库（GSL）绘制从A到B的平滑路径。我使用的API返回一个不规则间隔的小数字（在本例中为8）点（红色），您可以在下图中看到：

紫色点表示我希望从GSL返回的点数。

首先，使用GSL可以获得这种2D B样条形状吗？我不太了解B-Splines，更不用说2D B-Splines。我能够显示运行的B-Splines示例here并创建一个平滑的.ps文件而没有问题，但该示例使用带有以下代码的统一断点：

/* use uniform breakpoints on [0, 15] */
gsl_bspline_knots_uniform(0.0, 15.0, bw);

在我的情况下，鉴于我给出的数据不稳定且间距不均匀，我是否必须使用非均匀结？我尝试使用gsl_bspline_knots()，以便在以下测试代码中使用非统一断点，但我真的不确定这是否是正确的方向。

#define NCOEFFS 8 // not sure what this number should be - number of data points?
#define NBREAK   (NCOEFFS - 2)
const size_t nbreak = NBREAK;

int main (void) {

    // (example code)...

    gsl_vector *non_uniform = gsl_vector_alloc(nbreak);

    // create some random breakpoint values
    for (i=0; i<nbreak; i++) {
        double val = gsl_ran_gaussian(r, 2.0);
        printf("val: %f\n", val);
        gsl_vector_set(non_uniform, i, val);
    }

    gsl_bspline_knots(non_uniform, bw);

    // (more example code)...
}

此外，如何在2D x / y坐标空间中翻译上述用于绘制B样条的示例？如果GNU Scientific Library不适合这个，有人可以推荐一个更合适的C / C ++库吗？

非常感谢任何方向的帮助或指示。

Answer 1

首先： 1D Basis splines

给定一组NBREAK个断点(t_1, ..., t_{NBREAK})，有NCOEFFS=NBREAK+2个三次b样条曲线组件B_j(t)。即使在断点处，这些函数及其一阶和二阶导数也始终是连续的。因此，线性组合f(t) = \sum m_j B_j(t)给出的任何拟合也将共享这些属性（类似于自然三次样条）。 b样条组件的数量NCOEFFS不必等于数据点的数量NDATA。如果NCOEFFS < NDATA，您将使用最小二乘最小化来获得拟合（GSL文档有一个很好的最小二乘计算示例，以获得b样条拟合here）。当数据包含噪音时，NCOEFFS < NDATA是不错的选择

系数的数量不等于断点数NCOEFFS=NBREAK+2的原因与在处理基准样条时未指定边界条件的事实有关。鉴于人们通常更熟悉自然三次样条，值得评论natural cubic splines强加边界条件d^2f(x)/dx^2=0。这就是为什么使用三次多项式基的任何自然三次样条的表示都会有NCOEFFS=NBREAK。 Here is a link非常好地解释了由三次多项式的系数给出的自由度的计数，这些系数表示b样条的自然和强加f(t)的连续性所需的方程的数量。 ，df(t)/dt和d^2f(t)/dt^2）。

最后：使用b样条拟合参数曲线。

你有一套＆＃34;数据＆＃34;点(x_1, y_1)....(x_{NDATA},y_{NDATA})并且您想要构建参数拟合P(t)=( f_1(t), f_2(t) )。如果NCOEFFS<NDATA（如果您仔细选择断点并NCOEFFS=N_DATA可以要求，则B样条拟合不会通过所有数据点）。在我的研究中，我只使用一维非参数拟合（y=f(x)），但我相信这个参数情况类似。我会尝试以下

步骤1：创建一组＆＃34;数据＆＃34;点(t, x) = {(1, x_1), (2, x_2)...(NDATA, x_{NDATA})}并使用gsl 1D b样条拟合它们。这种匹配将为您f_1(t) = sum_{i=1}^{NCOEFFS} mx_j B_j(t)提供t \in [1,NDATA]。

第2步：现在构建一组＆＃34;数据＆＃34;点(t, y) = {(1, y_1), (2, y_2)...(NDATA, y_{NDATA})}并使用b样条拟合它们。这将为您f_2(t) = sum_{i=1}^{NCOEFFS} my_j B_j(t)提供t \in [1,NDATA]

现在绘制P(t)=( f_1(t), f_2(t) ), t \in [1,NDATA]。基本上，我在2个1D非参数拟合中绘制了2 D参数曲线问题（这是GSL提供的）。

最后一点是在步骤1和步骤2中选择断点（以及基础组件的数量NCOEFFS）。只要涵盖范围t\in[1, NDATA]和NCOEFFS <= NDATA，断点的选择是任意的。我相信如果您选择断点为{1, 3, ..., NDATA-2, NDATA }，则拟合将通过数据点（请注意我跳过了内部点t=2和t=NDATA-1，以便NBREAK=NDATA-2和NCOEFFS=NDATA）。这就是NAG库选择断点以获得插值拟合的含义（意思是：通过数据点的拟合）。